Главная страница 1
скачать файл


C:\Documents and Settings\Konstantin\Мои документы\Ps_МГТУ\УрМатФиз\ВолнУр123.rtf


Решение уравнений в частных производных

Уравнение, описывающее динамику изменения тока или напряжения в проводах, представляемую функцией "v(х,t)" переменных "x" и "t".

Для линейного дифференциального ур-я 2-го порядка в частных производных в случае двух независимых переменных, тип уравнения определяется по коэффициентам при вторых производных. Если Д>0 - гиперболичкский, Д<0 - эллиптический, Д=0 - параболический тип.(где Д=А12 1122 , а само уравнение выглядит так: ).



А) Решение методом Фурье (разделения переменных).

Постановка задачи (№123) и её словесное описание задачи [20]:

изолированный однородный электрический провод заряжен до некоторого потенциала V0=const. В начальный момент времени конец х=0 заземляется, а конец x=L продолжает оставаться изолированным. Найти распределение напряжения в проводе, если самоиндукция, сопротивление и емкость единицы длины известны.

Задание параметров.

Независимые параметры:

Самоиндукция: ; сопротивление: ; длина провода: ;

время наблюдения процесса: ; начальнй потенциал провода:



; ёмкость провода: .

Обозначения:





Критерий выбора параметров: 1) если , то корни комплексные для всех n

(N<1) и получаем решение V4(x,t) (V5(x,t)). При этом kr=5.







Математическая модель. (Вывод см. в лекциях или у Пискунова, т.2, стр.367.)









Здесь: V(x,t) - напряжение в сечении провода с координатой х в момент времени t;

A12=0; A11=-c*J; A222=1. Поэтому (Д=c*J>0) уравнение (1) имеет гиперболический

тип. Vxx - вторая частная производная по х, Vtt - тоже по t, и т. д.

Краевые условия:





Начальные условия







Граничные условия

Решение ищем в виде:





Исходя из краевых условий (2), запишем следующие выражения:











Из этих равенств следует, что и . В противном случае мы

получаем тривиальное (нулевое) решение. Подстановка (resh) в (1) приводит

к двум линейным дифференциальным уравнениям 2-го порядка:

Первое из них





с начальными условиями:





позволяет найти , где , .

Последние называют: - собственными значениями и соответствующие им

Хn(x) - собственными функциями.

Причём {Xn} представляет систему ортогональных функций на отрезке [-2L,2L], а

также на отрезках: [0,2L] или [-L,L], [0,L] или [-L/2,L/2] (см. файл: "СистОртогФункций"\"СистОртогФункций.xmcd".









Правда, для указанных выше отрезков, нормы будут разными:








Нас интересует отрезок [0,L] и соответствующая ему норма.



Второе из уравнений с учётом найденного значения будет иметь вид:







Находим решение (5) , которое будет зависеть от значения .

Для этого найдем корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (5).











где:







В зависимости от выбора параметров и, что самое главное, от значений индекса "n", корни (6) могут быть как действительными разными или равными, так и комплексными.

Поэтому найдем такое n, при котором . Или

.

Обозначим это значение через N









Примечание. Можно подогнать R так, чтобы N было целым. Для этого R будем вычислять по формуле:





Полученное значение R=RR надо подставить в исходные данные в начале листинга. Конец Примечания.

Значения (8) приводят к разбиению множества индексов n на подмножества.

Учитывая (8), решение уравнения (5) запишется в следующем виде:



1) Для (корни p1n, p2n действительные разные)




или, что одно и тоже:





где: ,

2) Для (корни p1n, p2n комплексные)







3) Для (так как n по определению целое число, то в этом случае и N также целое, и корни p1n, p2n действительные равные)





Примечание: . При получим

.

Так как в каждом случае 1), 2), 3) индекы n разные, то это даёт нам возможность записывать в вектор, в общем случае различные, коэффициенты , равно как и , обозначение которых вместе с самой функцией T(t,n) можно оставить единым для всех трех случаев.

Подставим найденные Xn(x) и T(t,n) в (resh) и, используя начальные условия в (2), запишем два уравнения для определения коэффициентов ,







Константу V0, заданную на интервале 0 :

.

В общем случае коэффициент ряда Фурье V1n функции V0 определяется так:

, здесь - вес собственной функции , равный единице.

Используя формулы (4a) и (4b), найдём:











Из полученных значений коэффициентов ряда Фурье следует то, что константу V0

не обязательно было доопределять как нечетную функцию на отрезке [-L,0].

Далее за коэффициент ряда Фурье примем: .

Построим график функции VK(x), представляющий данную константу V0:









Здесь 2L - полупериод, так как

имеет период 4L.

Таким образом, получены два уравнения:








из которых следует искать коэффициенты An и Bn , Определение An и Bn будет

дано ниже. Само же решение (resh), исходя из принципа суперпозиции теперь

будет иметь вид:





Функция V(х,t) является нечетной периодической с периодом 4L (2L - полупериод) и представлена рядом Фурье в виде разложения по системе ортогональных функций {Xn} .

Алгоритмизация решения.

Все задаваемые ниже параметры можно менять в интерактивном режиме.

Зададим диапазон изменения индекса "n":





Погрешность округления N до целого числа: . Её можно задать как ноль.







Следовательно (см. (12а)), и для всех случаев (всех n) 1), 2), 3) имеем:





Проверка и вывод на экран монитора численных значений:



Второе условие в (12) даст для всех случаев (всех n) 1), 2), 3) , считая для случая 3) : . Что в свою очередь позволит вычислить Bn.

1а) Для (корни p1n, p2n действительные разные).

Введем константы N1, N2 и К для вычисления Вn , записываемых в вектор В.






Проверка и вывод на экран монитора численных значений:









Таким образом, N1 - это наибольшее целое число, не превосходящее , а N2 - наименьшее целое число, большее или равное .

Сформируем логический программный блок вычисления К



Проверка и вывод на экран монитора численных значений:



Если , то номер n=K соответствует действительным равным корням,

в противном случае корни p1n, p2n действительные разные.



Здесь и далее логическое равенство заменено неравенством ,

так как практически невозможно задать N как целое число. Неравенство же

позволяет искусственно создать в алгоритме эту ситуацию целого числа N.

Теперь можно приступить к вычислению коэффициентов Вn:









Проверка и вывод на экран монитора численных значений:









Примечание. Если условия не выполнены, то Bn можно не вычислять

или приравнять любой константе, в т. ч. нулю, т. к. формула решения будет другой. Поэтому опцию n=1..K-1 верную при и дающую сбой при K=0 следует заменить на n=1..KK, где KK=if(, K-1, N1 ).






2а) Для (корни p1n, p2n комплексные)





Проверка и вывод на экран монитора численных значений:











и т. д.



3а) Для (если N целое, корни p1n, p2n действительные равные)



Проверка и вывод на экран монитора численных значений:









В общем же случае, когда , , будем иметь ([20], Будак, стр.231)

, . Где L1 заданный отрезок.

Проверка. V1n определяется как коэффициент ряда Фурье: , где 2L норма, равная

Вычислим норму:





ч.т.д.

Проверка ортогональности:







Вычислим коэффициент ряда Фурье:

С другой стороны V1n=An. Далее нетрудно убедиться в справедливости общих формул.

Вывод на экран численных значений:



Конец проверки.

Решение задачи (1) - (2) имеет переменную структуру, зависимую от констант

K, N1, N2, разбивающих множество индексов n на подмножества. Каждому набору подмножеств индексов n соответствует своя формула решения с коэффициентами

Bn.

Выпишем четыре формулы вычисления решения и пятую V6(x,t) :

1. Решение для К=0 и . Корни действительные разные и комплексные.



2. Решение для . Корни действительные разные, комплексные

и действительные равные.




3. Решение для К=1. Корни комплексные и действительные равные.





4. Решение для N1=0 . Корни комплексные.



Поледнее выражение, получаемое при , можно преобразовать к виду, если ввести :









5. Решение для К-> и -> . Корни действительные разные

(В этом файле эта формула не работает. См. "ВолнУр123_Алгоритм").






Вывод на экран монитора численных значений параметров, по которым

выбирается одна из четырёх формул: , ,



Логический блок выбора одной из четырех формул:







Выбрана формула решения:

Можно дать следующее описание подмножеств множества индексов n, эквивалентное приведён-

ному в (15), если положить =0 . Описание приводится в той же последовательности, что и в (15).



1. Выбор параметров: and приводит к разбиению на подмножества:

(корни p1n, p2n действительные разные), .. (корни p1n, p2n комплексные).

2. Выбор параметров: and приводит к разбиению на подмножества:

(корни p1n, p2n действительные разные), (корни p1n, p2n действительные равные), .. (корни p1n, p2n комплексные).

3. Выбор параметров: and приводит к разбиению на подмножества:

(корни p1n, p2n действительные равные), .. (корни p1n, p2n комплексные).

4. Выбор параметров: приводит к разбиению на подмножества: .. (корни p1n, p2n комплексные).

5. Выбор параметров: -> приводит к разбиению на подмножества:

(корни p1n, p2n действительные разные)

Возможна анимация по параметру t:






Б). Численное решение с использованием штатного ПО Mathcad.









Краевые условия:















Выводы. 1) Увеличение ёмкости C приводит к увеличению колебательности процесса.

2) Уменьшение R сильно увеличивает колебательность процесса и наоборот - увеличение R уменьшает колебательность.

3) Увеличение самоиндукции J замедляет процесс и уменьшает колебательность.

4) Ситуация n=N - целое число ( ) практически никак не сказывается на процессе.



5) Коэффициенты An, Bn вычисляются по формулам, соответсвующим разбиению множества индексов n на подмножества.
скачать файл



Смотрите также:
Решение уравнений в частных производных
135.55kb.
5. 1Интерактивное моделирование дыма
578.81kb.
Математика Магистерская программа: Уравнения в частных производных Аннотация к рабочей программе: «Философия и методология научного знания»
702.77kb.
Открытый урок по теме: "Решение квадратных уравнений"
48.46kb.
Дисциплина: Прикладная математика Факультет: 8 Курс: 2 Семестр: 4 Вопросы к коллоквиуму «методы приближённых вычислений»
23.69kb.
Решение задач и уравнений
93.45kb.
Программа по дисциплине дифференциальные уравнения крюковский А. С. Цели преподавания дисциплины
87.42kb.
Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа; исследование основных задач для уравнений математической физики. Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Далласа
28.17kb.
Решение Страсбург, 27 июня 2000 г
892.27kb.
Образование суффиксальных производных от имен собственных во французском и английском языках
360.26kb.
Разработка урока по алгебре в 8 классе (учитель Лифанова В. А.) Тема урока : Квадратные уравнения и его корни. Цель: показать применение квадратных уравнений к решению задач
53.11kb.
Международный Олимпийский Комитет принял решение
3174.69kb.