Главная страница 1
скачать файл

Московский физико-технический институт (государственный университет Факультет проблем физики и энергетики





'Утверждаю"

.._ ..


Н.Н.Кудрявцев


1999 г.



ПРОГРАММА

ИТОГОВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010300 - "ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА"

"МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

И ЯВЛЕНИЙ"

Программа разработана кафедрой математического моделирования физических про­цессов (базовое предприятие ИВМ РАН) в соответствии с магистерской программой 010369 - "Математическое моделирование глобальных физических процессов и явлений"







Декан ФПФЭ


С.А.Гордюнин


О2. 1999г.



Зав.кафедрой ИВМ

Г.И.Марчук










1999 г.




Москва 1998 г.



I. Линейная алгебра [1,3]

1. Линейное пространство. Базис. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы.

2. Детерминант квадратной матрицы. Два определения ранга ма­трицы (в терминах линейной независимости строк и неравенства нулю миноров).

3. Система линейных уравнений. Критерий совместимости Кронекера-Капелли.

4. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора. Нормальные операторы. Жорданова форма (без доказательства). Син­гулярное разложение.

5. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы. Критерий Сильвестра (без доказательства).



II. Математический анализ [4,5,6]

1. Предел последовательности. Числовые ряды.

2. Предел функции. Дифференцируемость. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.

3. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточ­ное условие экстремума.

4. Интеграл Римана. Несобственные интегралы. Формулы Грина (без доказательства).

5. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Сходимость рядов Фурье для кусочно-гладких функций. Порядок убывания коэффициентов Фурье для n-раз непрерывно-дифференцируемой функции. Равномер­ная сходимость ряда Фурье для непрерывно-дифференцируемой функ­ции. Теорема Вейерштрасса (о полноте). Многочлены Чебышева.

6. Функции одной комплексной переменной. Условие Коши-Римана. Интегральная формула Коши.

7. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Дифференцирование и ин­тегрирование степенных рядов. Эквивалентность дифференцируемости и регулярности функции в области.

8. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Особые точки. Понятие вычета в изо­лированной точке.

III. Функциональный анализ [8,16]

1. Метрические пространства. Полнота. Непрерывные отображения. Компактные множества.

2. Принцип сжатых отображений. Метод последовательных отобра­жений.

3. Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Сильная и слабая сходимость. Задача о наилучшем приближении элемен­тами выпуклого множества или подпространства. Минимальное свой­ство коэффициентов Фурье.

4. Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора. Сходимость операторов. Обратимость. Ряд Неймана и усло­вия его сходимости. Теоремы о существовании обратного оператора.

5. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха-Штейнгауза, ее приложе­ния.

6. Теорема Рисса (для гильбертова пространства). Сопряженные, са­мосопряженные, симметричные, положительно определенные, вполне не­прерывные операторы и их свойства.

7. Свойства собственных значений и собственных функций для задачи на собственные значения Аи — Aw, где А - самосопряженный, вполне непрерывный линейный оператор.

8. Квадратичные функционалы и обобщенные решения операторных уравнений.

IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения [9]

1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для одного уравнения 1-го порядка и для системы п уравнений 1-го порядка с т неизвестными в нормальной форме (без доказательства). Теорема существования и единственности для системы линейных уравнений 1-го порядка.

2. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение однородного уравнения. Решение неоднородного уравнения со специальной правой частью в виде квазиполинома. Уравнение Эйлера.

3. Решение однородной системы первого порядка с постоянными ко­эффициентами (случай простых корней).

4. Системы линейных уравнений первого порядка с переменными ко­эффициентами. Фундаментальная система решений однородного урав­нения и ее существования. Формула Лиувилля. Метод вариации про­извольных постоянных для отыскания частного решения неоднородной

системы. Структура общего решения.



V. Задачи математической физики [7,10,16]

1. Математические модели физических задач, приводящие к урав­нениям математической физики. Основные уравнения математической физики, постановки задач.

2. Обобщенное решение краевых задач для эллиптических уравнений в самосопряженной форме. Пространства Соболева. Понятие о теоремах вложения.

3. Задача Штурма-Лиувилля. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собствен­ных функций задачи Штурма-Лиувилля.

4. Метод Фурье (метод разделения переменных) для волнового уравне­ния и уравнения теплопроводности. Обоснование метода на конкретных примерах (простейших). Теорема Стеклова (без доказательства).

5. Гармонические функции и их свойства.



VI. Методы вычислительной математики

1. Численный, анализ [11,12,18]

1.1. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

1.2. Интерполяция функции одного переменного с помощью куби­ческих сплайнов. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием. Гладкие восполнения. Сходимость сплайн-функций.

1.3. Численное интегрирование.



2. Численные методы линейной алгебры [2,11,12,16,18]

2.1. Разложение матрицы на треугольные множители. Компактная схема. Метод факторизации. Число обусловленности матрицы как мера устойчивости процесса решения системы уравнений.

2.2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Схо­димость и оптимизация итерационных методов.

2.3. Метод последовательной верхней релаксации, чебышевские итера­ционные методы, метод минимальных невязок, метод сопряженных гра­диентов.

2.4. Теоремы о сходимости для итерационных методов.

2.5. Задача на собственные значения. Степенный метод. Метод вра­щений.



3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных урав­нений [12,13,17]

3.1. Конечно-разностные методы. Методы Рунге-Кутта (на примере явной схемы 4-го порядка аппроксимации). Линейные многошаговые ме­тоды. Предиктор-корректор методы (на примере метода Адамса-Бэш-ворта-Мултона 2-го порядка аппроксимации).

3.2. Сходимость и устойчивость конечно-разностных методов. Поня­тия устойчивости, абсолютной устойчивости. Порядок аппроксимации, погрешность аппроксимации. Сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной (на примере явной схемы Рунге-Кутта 2-го порядка аппроксимации).

3.3. Жесткие задачи. Явные и неявные методы, их особенности. При­менение линейных многошаговых методов.



4. Разностные и проекционно-сеточные методы решения задач мате­матической физики [11-17,19]

4.1. Основные понятия теории разностных схем (сетки, сеточные функ­ции, аппроксимация, устойчивость, сходимость). Разностные схемы для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений. Двух­слойные и трехслойные схемы, их устойчивость. Схема Кранка-Николсон для эволюционного уравнения. Оценка порядка точности. Консерватив­ные разностные схемы. Понятие об экономичных разностных схемах.

4.2. Вариационные и проекционные методы решения задач математи­ческой физики (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, наименьших квадра­тов, Галеркина-Петрова). Аппроксимация финитными функциями (кусо­чно-линейными, полилинейными, эрмитовыми базисными функциями). Проекционно-сеточные схемы для эллиптических, параболических, ги­перболических задач. Теоремы сходимости.

4.3. Методы расщепления для нестационарных задач. Методы стаби­лизации, предиктор-корректор, покомпонентного расщепления. Метод двуциклического покомпонентного расщепления.



VII. Физика атмосферы и гидросферы [19-24]

1. Состав и строение атмосферы.

2. Уравнения гидротермодинамики атмосферы в различных системах координат. Законы сохранения.

3. Типы волновых движений в атмосфере. Параметр Кибеля-Россби. Масштаб Россби. Геострофический ветер. /3-эффект. Волна Россби. Эваториально-захваченные волны.

4. Баротропная неустойчивость атмосферных потоков.

5. Баротропная неустойчивость атмосферных движений. Проблема циклогенеза.

6. Понятие о пограничных слоях в атмосфере. Экмановский погра­ничный слой.

7. Мезометеорологические пограничные слои.

8. Понятие о доступной потенциальной энергии. Преобразования энергии в атмосфере. Цикл Лоренца.

9. Перенос излучения в атмосфере.

10. Перенос влажности. Фазовые переходы.

11. Общая циркуляция атмосферы. Ячейки Гадлея и Ферела. Струй­ные течения.

12. Взаимодействие вихрей с зональными потоками. Теорема Чарни-Дразина.

13. Уравнения крупномасштабной гидротермодинамики океана. Фи­зический смысл основных приближений и гипотеза Буссинеска, гидро­статики, несжимаемости, "твердой крышки". Простейшая параметриза­ция процессов турбулентного трения.

14. Простейшие модели плоской циркуляции в океане. Формирова­ние пограничных слоев у западных берегов океана. Задачи Стоммела, Манка. Краевая задача для уровенной поверхности океана. Формули­ровка граничных условий на открытых и твердых участках граничного контура.

15. Длинные волны в стратифицированном океане в линейном прибли­жении. Уравнения для давления и У-компоненты скорости. Метод раз­деления переменных. Вертикальная структура движений в простейших случаях линейной и экспоненциальной стратификации. Горизонтальная волновая структура: два основных типа волн и их свойства.

16. Обзор и анализ диагностических расчетов течений. Расчеты уро­венной поверхности и скорости течений, диагностические расчеты мето­дом К.Брайена.

17. Основные механизмы крупномасштабной циркуляции вод Миро­вого океана.



ЛИТЕРАТУРА

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1980.

2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., На­ука, 1977.

3. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М., Наука, 1983.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М., Высшая школа, 1981, т.1.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М., Высшая школа, 1981, Т.П.

6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплекс­ного переменного. М., Физматиз, 1965.

7. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производ­ных. М., Наука, 1983.

8. Треногий В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.

9. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., Наука, 1981.

11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980.

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., Наука, 1987.

13. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М., Изд. МФТИ, 1994.

14. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М., Наука, 1981.

15. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.

16. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная матема­тика. М., ВИНИТИ, 1994.

17. Самарский А.А. Введение в численные методы. М., Наука, 1982.

18. Тыртышников Е.Е.Краткий курс численного анализа. М., ВИ­НИТИ, 1994.

19. Матвеев Л.Т. Физика атмосферы.

20. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т.1 и 2.

21. Дымников В.П., Филатов А.Н. Устойчивость крупномасштабных атмосферных потоков.

22. Саркисян А.С. Моделирование динамики океана. С-П., Гидроме-теоиздат, 1991.

23. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т.1. М., Мир.



24. Дымников В.П. Избранные главы гидродинамики. М., ИВМ РАН, 1998.
скачать файл



Смотрите также:
Программа итогового государственного экзамена по специальности 010300 "прикладные математика и физика"
99.59kb.
Программа итогового государственного междисциплинарного экзамена по направлению 030500
309.04kb.
Программа государственного экзамена по информатике и методике её преподавания для студентов, обучающихся по специальности физика с дополнительной специальностью информатика на физико-математическом факультете в 2008 году
49.89kb.
Программа Государственного экзамена по подготовке магистра по направлению «Астрофизика. Физика космических излучений и космоса» (510409)
61.85kb.
Программа дисциплины Организация и планирование производства для специальности 230401. 65 «Прикладная математика»
275.31kb.
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 05. 13
143.75kb.
Программа содержит основные и наиболее важные вопросы по разделам физики: механика, термодинамика и молекулярная физика, электричество и магнетизм, оптика, квантовая физика
72.35kb.
Теория государства и права специальности 021100 «Юриспруденция» Для студентов юридического факультета
156.15kb.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 03. 01. 06 «Биотехнология»
216.58kb.
Программа вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М070300 Информационные системы
103.39kb.
Программа государственного экзамена по специальности 220201 "управление и информатика в технических системах" (очно-заочная форма обучения) Рассмотрена на заседании кафедры автоматизации управления 21. 01. 13г
246.67kb.
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности
372.14kb.