Главная страница 1страница 2страница 3
скачать файл

Небесная механика - один из разделов астрономии.

Разделы астрономии:

- общая астрономия

- астрофизика

- космогония

- космология

- астрометрия (геодезическая, сферическая, оптическая)

- радиоастрономия

- небесная механика (теоретическая астрономия)

По определению Дубошина предметом небесной механики является изучение поступательного, вращательного и деформационного движений небесных тел как искусственного, так и естественного происхождения, под действием различных сил: сил гравитации, сил отталкивания, сил сопротивления среды, сил электромагнитных и др.

Всякое сложное движение тела можно разложить на 3 составляющих:

- поступательное движение

- вращательное движение

- деформационное движение.


Пример 1:

Движение Земли в солнечной системе можно разложить на поступательное движение центра масс Земли по орбите вокруг Солнца, вращательное движение Земли вокруг центра масс и деформационное движение Земли под действием приливов в оболочках Земли, движение литосферных плит и тепловое расширение и сжатие Земли.


Пример 2:

Полет футбольного мяча.


В курсе небесной механики будем изучать только поступательное движение центра масс.
Основные задачи небесной механики:

Все множество задач делится на две группы:



  1. Определение орбит небесных тел.

  2. Вычисление эфемерид небесных тел.

1 группа задач: по наблюдаемому (измеряемому) видимому движению небесного тела определяются параметры траектории движения, такие, которые во время движения остаются постоянными величинами. Эти параметры называют элементами орбиты и их определение и составляет предмет первой группы задач.


Наблюдать (измерять) – означает регистрировать с помощью аппаратуры различные кинематические движения: расстояние, направление (углы), скорость изменения кинематических величин (радиальная, угловая).
2 группа задач: осуществляется прогнозирование движения различных небесных объектов с помощью построения теоретической модели движения и параметров орбиты, полученных из решения 1-й группы задач.

Прогнозирование движения тождественно понятию вычислений эфемериды небесного объекта. Эфемерида может быть задана в двух видах: либо в аналитическом (совокупность формул, явно выражающих зависимость координат векторов положения и скорости небесного тела от элементов орбиты и времени), другой вид эфемерид табличный, когда координаты векторов в положении скорости спутников задаются в виде таблицы.



координаты вектора положения

координаты вектора скорости











































Примеры таких таблиц есть в астрономических ежегодниках.
Методы небесной механики

Все множество методов решения двух данных задач делится на две группы:



  1. аналитические методы

  2. численные методы

В аналитических методах небесной механики математическая модель движения небесного объекта представляется в явном виде, когда любая координата (x,y,z, ẋ,ẏ,ż) представляется как аналитическая функция:


Ω
x = x(а, е, i, , ω, tπ, t)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.1)

ż= ż(а, е, i, Ω, ω, tπ, t) ,


где а, е, i, Ω, ω, tπ – элементы орбиты небесного тела, а t – время.

В численных методах математическая модель движения представляется в дифференциальном виде, то есть в виде дифференциальных уравнений движений, когда искомые функции x(t), y(t), z(t), ẋ(t), ẏ(t), ż(t), находятся под знаком оператора дифференцирования, и отыскание (нахождение) их решений осуществляется путем численного интегрирования дифференциальных уравнений одним из методов (Рунге, Кутты, Адамса и др.).

Так, например, движение ИСЗ очень просто и точно описывается дифференциальными уравнениями:

d2x/dt2=-μx/r3x(x, y, z, t)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.2)

d2 z/dt2=-μz/r3z(x, y, z, t) .

В формулах (1.2) искомые функции x (t), y (t), z (t) находятся под знаком оператора двойного дифференцирования, под знаком квадратного корня в


третьей степени r3=( √x2+y2+z2 )3 и под знаком возмущающих функций Φx, Φy, Φz.

Если результатом аналитического метода являются формулы (1.1), то результатом численных методов небесной механики является таблица в виде эфемериды, описанной выше.

Аналитические методы позволяют качественно охарактеризовать геометрическую кинематику и динамику движения небесного тела, но точность аналитических методов всякий раз отстает от запросов практики. Прогресс измерительной техники в точности измерений идет более быстрыми темпами, чем повышается точность аналитических методов. Численные же методы наоборот, не позволяют получить качественную картину движения небесного тела, но дают возможность прогнозировать движение методически с неограниченной точностью. Предел точности ставят сами измерения и адекватность дифференциального уравнения реальному движению.

РАЗДЕЛ 1. НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА


Тема 2. Постановка задачи невозмущенного движения спутника

Тема 2.1. Понятие динамической системы, используемой для решения геодезических задач.

В космической геодезии исследуется состояние реальной динамической системы (рис. 2.1):

Рис. 2.1. Реальная динамическая система

А – Земля,

S - искусственный спутник Земли,



- планеты,

Fa – сила притяжения спутника S Землей А,



F - Солнцем,

F - Луной,

F - планетами,

Fатм – сопротивление движения S плотными слоями атмосферы,

Fсв д – световое давление (солнечная радиация или солнечный ветер),

Fтепл д – тепловое давление Земли, тепловая радиация,

Fотраж – отраженное световое давление от Земли и Луны,

Fэл магн – электромагнитные силы взаимодействия магнитного поля Земли с электромагнитным полем спутника,

и другие силы.

Для выделения главной составляющей движения спутника реальное ЭДС заменяется моделью, в которой делается 4 следующих основных допущения:


1 допущение: в динамической системе рассматриваются только силы гравитации (притяжения), а все остальные силы отбрасываются, так как они по величине примерно в 1000 раз меньше главной силы гравитации

(Fʘ=0; Fатм=0; Fтепл=0).


2 допущение: из всех тел, создающих гравитацию, рассматриваются только два тела: центральное тело, масса которого (М) во много раз превышает массу спутника (в космической геодезии это Земля). Второе тело, движение которого измеряется и используется в дальнейшем, называется спутником (m)

m<


3 допущение: несферическая структура гравитационного поля Земли (ГПЗ) заменяется сферической моделью ГПЗ.

Термин несферическое ГПЗ эквивалентен термину нецентральное ГПЗ (рис. 2.2).

Термин сферическое ГПЗ эквивалентен термину центральное ГПЗ

(рис. 2.3).




Рис. 2.2 – нецентральное ГПЗ

В нецентральном ГПЗ силовые линии, пространственные кривые не пересекаются в одной точке. Касательные к силовым линиям в точке нахождения спутника также не пересекаются в одной точке.

На рисунке 2.3 покажем три эквивалентных модели центрального ГПЗ.

а) б) в)

Сферически симметричная однородный материальная точка

Модель ГПЗ шар

Рис. 2.3. Три модели центрального ГПЗ

В случае сферической симметрии ГПЗ плотность (ρ) вещества внутри Земли есть функция только одной координаты r – расстояния от внутренней элементарной массы до точки О

ρ = ρ(r). (2.1.)

Тогда как в случае несферической структуры ГПЗ плотность ρ в земле – есть функция трех координат.

ρ = ρ(r,φ,λ) , (2.2.)

где φ и λ – сферические координаты.

В случае ГПЗ в виде шара ρ – есть величина постоянная

ρ =const.

В случае ГПЗ, создаваемого материальной точкой, понятие плотности теряет смысл, в этом случае пользуются понятием материальной точки – это геометрическая точка, снабженная массой М всего тела А.

Для Земли обычно в качестве геометрической точки выбирают центр масс О и снабжают его массой Земли М.
4 допущение: поскольку размеры спутника во много раз меньше, чем расстояние до Земли, то несферическое гравитационное поле, создаваемое телом спутника, заменяется сферическим, это значит, что спутник заменяется на материальную точку S с массой m.

Таким образом, мы приходим к следующей идеальной модели динамической системы (рис.2.4):



Рис. 2.4. Идеальная модель динамической системы (ДС)

Изучение движения двух материальных точек называется называется задачей двух тел или невозмущенным движением.

В задаче двух тел действуют только две силы взаимного притяжения

(Fа и Fs), с которыми Земля и спутник притягивают друг друга, больше никакие другие силы не рассматриваются. Если к этим двум силам прибавить любую другую из рассматриваемых выше сил, такое движение называется возмущенным движением.

Тема 3. Понятие универсальной инерциальной системы координат

Мы будем изучать решение задачи двух тел в инерциальной системе координат, так как в ней наиболее просто составляется уравнение движения спутника. Инерциальной системой называется такая система, которая движется в пространстве поступательно, равномерно, прямолинейно, с постоянной ориентировкой осей относительно внешнего пространства.

Рис. 3.1. Поступательная прямолинейная равномерная ИСК

Оси координат должны быть неподвижны относительно других имеющихся тел. В природе все тела движутся криволинейно, неравномерно и вращаются. Создать строгую абстрактную ИСК невозможно, но так как на практике все задачи имеют ограниченную точность решения на ограниченном отрезке времени, вместо ИСК пользуются понятием квазиинерциальных систем координат. Квазиинерциальная система координат на ограниченном отрезке времени движется практически прямолинейно , равномерно и почти не меняет своей ориентировки.

Пример 1: Квази ИСК, используемая в космической геодезии – это система координат, у которой начало координат помещается в центр масс Земли. Ось аппликат направляется по оси вращения Земли, а ось абсцисс по линии узлов орбиты Земли, то есть по линии пересечения плоскости орбиты Земли с плоскостью экватора Земли (рис. 3.2).



Рис. 3.2. Квазиинерциальная система координат Оxyz c началом О в центре масс Земли, осью аппликат Оz по оси вращения, и осью абсцисс по линии узлов орбиты Земли


На рис.3.2 точка γ – восходящий узел орбиты Земли или точка весеннего равноденствия.

На ограниченном отрезке времени, на котором ищется решение конкретной практической задачи, кусок траектории орбиты Земли от t1 до t2 можно рассматривать прямой линией и движение Земли происходит равномерно и прямолинейно.


Тема 4. Составление дифференциального уравнения невозмущенного движения спутника

Тема 4.1. Постановка задачи.

Даны две материальные точки: М – центральное тело и m – спутник, находящийся в движении под действием только силы взаимного притяжения (рис. 4.1.).

Движение двух тел (М и m) изучается относительно ИСК Оxyz.



Рис. 4.1. Неограниченная задача двух тел

Требуется описать движение двух материальных точек М и m относительно ИСК Оxyz в дифференциальной форме (то есть в виде дифференциальных уравнений).
Тема 4.2. Три закона Ньютона, используемые для составления дифференциальных уравнений (ДУ).

Первый закон – закон всемирного тяготения:

Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:
F=fMm/r2 . (4.1)

Второй закон – закон инерции: сила, действующая на тело, пропорциональна массе тела m и его ускорению ω:

F= mω .

Третий закон – закон равенства действия противодействию (4.1)



|Fm| = |FM| или Fm = - FM . (4.3)
Тема 4.3. Векторная форма ДУ невозмущенного движения спутника в неограниченной задаче двух тел.

Запишем силу притяжения спутника FM центральным телом M в векторной форме. Для этого используем понятие орта и модуля любого вектора



аоа , (4.4)

где ао - орт вектора а, а=|а| - модуль вектора а.

Применим (4.4) к векторам Fm и FM

Fm = Fmо Fm, FM = FMо FM . (4.5)

Используя (4.1), получаем, что



Fm= FmоfMm/r2, FM= FMо fMm/r2 . (4.6)

Введем радиусы - векторы:



ρ, характеризующий движение спутника m относительно инерциальной системы Oxyz ; и а, характеризующий движение центрального тела М относительно ИСК.

Введем вектор r, характеризующий взаимное положение двух тел m и M.

Из (рис. 1.1) следует, что орт вектора rо= FMо и rо= - Fm,

rо = r/ r . (4.7)

С учетом (4.7) перепишем (4.5) и (4.6) так:


(4.8)


Fm= (fMm/r2)( - r/ r)

FM = (fMm/r2)(r/ r) .

Используем второй закон Ньютона, имеем:

Fm= mωm ; FM = MωM . (4.8*)

Найдем ускорение спутника ωm и центрального тела ωM. Из треугольника ОmM имеем: сумма векторов в замкнутой фигуре равна нулю, то есть

r =ρа . (4.9)

Дифференцируя дважды (4.8) по времени t, получаем:



r(t) = ρ(t) – а(t) , (4.9)

ŕ(t) = ρ˙(t) – а˙(t) , (4.10)

ŕ˙(t) = ˙ρ˙(t) – ˙а˙(t) , (4.11)

где точками сверху обозначены производные по времени t.



ŕ(t) =(d/dt)(r(t)) ;

ŕ˙(t)= d/dt(d/dt(r(t)))= (d2F(t))/dt2.

Из курса физики известно, что первая производная по времени t от радиуса-вектора r(t) есть вектор скорости:



ŕ(t) = V(t) , (4.12)

а вторая производная



ŕ˙(t) = ω(t) = d/dt(V(t)) . (4.13)

из (рис. 4.1.) имеем



ωm =˙ρ˙ ; ωM = ˙а˙ . (4.14)

Подставляя в (4.8.1) получим



Fm=m˙ρ˙ , FM =М˙а˙ . (4.15)

Ньютон высказал гипотезу, что приравнивая (4.8) и (4.15), получаем:


(4.16)
ρ˙= - (fMm/r2)(r/|r|)

М˙а˙= (fMm/r2)(r/|r|) ,

поскольку М≠0, m≠0 можно сократить в (4.16)

˙ρ˙= - (fMm/r2)(r/|r|) , ˙а˙= (fMm/r2)(r/|r|) . (4.17)

Выражение (4.17) и есть дифференциальное уравнение движения спутника m и центрального тела М относительно ИСК Oxyz в неограниченной задаче двух тел.


Тема 4.4. Дифференциальное уравнение невозмущенного движения в ограниченных задачах двух тел.

Покажем, что модуль ускорения движения центрального тела |˙а˙| намного меньше модуля вектора ускорения спутника |˙ρ˙|. Вычислим модуль |˙ρ˙|:

ρ˙|=|- (fM/r2)(r/|r|)| = (fM/r2)(r/|r|) = fM/r2 .

Вычислим |˙а˙|:

а˙|=|- (fm/r2)(r/|r|)| = fm/r2.

Беря отношение, получаем:

ρ˙|/|˙а˙|=fM/r2 ; fm/r2=М/m

или


а˙|/|˙ρ˙|= m/М . (4.18)

Отсюда видно, если М<< m, то |˙ρ˙| >> |˙а˙|.

Если применить задачу двух тел к ИСЗ, масса которого 1 тонна, и поделить на массу Земли, то отношение будет миллиардным.

Вывод: начало ИСК из точки О можно перенести в точку М(центр масс центрального тела). И тогда мы получаем ограниченную задачу двух тел. (рис.4.2.).



Рис. 4.2. Ограниченная задача двух тел.

Получим ДУ для ограниченной задачи двух тел.

Вычтем левые и правые части в выражениях:

˙ρ˙- ˙а˙ = (fM/r2)(-r/|r|) - (fm/r2)(r/|r|) ,

˙ρ˙ -˙а˙ = (f(M+m)/r2)(-r/|r|) .

Задача двух тел или ˙ρ˙- ˙а˙= ŕ˙, то

ŕ˙=((fM(1+m/М))/r2) / (-r/|r|) . (4.19)

Обычно в ограниченной задаче членом m/М≈0 пренебрегают, тогда



ŕ˙=(fM/r2)(-r/|r|) , (4.20)

где вводят обозначение

μ=fM , (4.21)

величина μ – гравитационный параметр тела М. Коэффициент f – универсальная постоянная тяготения, которая справедлива для Земли.

Тема 4.5. Дифференциальные уравнения невозмущенного движения спутника в координатной форме.

Мы получили ДУ невозмущенного движения в векторной форме относительно ИСК Oxyz в векторном виде.



ŕ˙+ (μ/ r2)(r/|r|)=0 . (4.19)

Рис. 4.2. Невозмущенное движение спутника относительно ИСК

Чтобы преобразовать векторную форму уравнения (4.19) в координатную, надо спроектировать это равенство на оси ИСК Oxyz. Проектирование любого вектора на заданное направление осуществляется с помощью скалярного произведения двух векторов.

Из векторной алгебры скалярное произведение – есть скаляр (число), равный произведению модуля этих векторов (сомножителей) на cos угла между ними



аb , (4.22)

(а,b) . (4.23)

В одном тексте используется только какое-либо одно обозначение. Мы будем использовать первое (4.22)

аb=|а||b|cos(а,b) , (4.24)

или так: аb=|а||b|cos(α) , (4.25)

где α=(а˄,b) – угол между а и b.

Рассмотрим геометрический смысл скалярного произведения (рис. 4.3):



Рис. 4.3. Геометрия скалярного произведения двух векторов а и b

Перепишем (4.25),как

аb(bоb)= b[аbо]= b[аcosα]= аb=bапр на b , (4.26)

аbо= апр на b . (4.27)

Из векторной алгебры: любой вектор можно представить его разложением по координатным осям (а в более общем случае в виде разложения по двум, трем и более направлениям).

Во всякой исходной СК (в нашем случае ИСК Oxyz) вводятся по умолчанию орты осей координат i,j,k с координатами:

i={1,0,0},j={0,1,0},k={0,0,1} . (4.28)

Теперь, чтобы спроектировать равенство (4.19) на оси координат , надо представить каждый вектор , входящий в него r, ˙r˙ в виде разложения по координатам:

r=x

x=ОS=ri

y=ОP=rj (4.29)

z=ОU=rk

r=x+y+z

или


r = xi+yj+zk . (4.30)

Рис. 4.4 Разложение r по координатным осям

Если даны координаты какого-либо вектора

r= {x,y,z} задание вектора прямоугольными координатами

r=xi+yj+zk – разложение вектора.

Дифференцируя дважды равенство (4.30) получаем:



r˙=x˙i + y˙j + z˙k + xdi/dt + ydj/dt + zdk/dt,

но так как Oxyz есть ИСК (i=const,j=const,k=const)

di/dt = dj/dt = dk/dt =0,

= x˙i + y˙j + z˙k . (4.31)

Вектор r˙ есть вектор скорости с координатами x˙ y˙ z˙



r˙= {x˙,y˙,z˙}=V . (4.32)

где V – другое обозначение вектора скорости



r˙˙= (d/dt)i = x˙˙i y˙˙j+ z˙˙k , (4.33)

или


r˙˙= {x˙˙, y˙˙, z˙˙} , (4.34)

x˙˙, y˙˙, z˙˙ - координаты вектора ускорения спутника.

Теперь, подставляя в дифференциальное уравнение (4.19) выражение (4.34) и (4.31) получаем:

x˙˙i + y˙˙j + z˙˙k= - (μ/ r3)( xi + yj + zk) . (4.35)

Проектируя (4.35) на оси Оx, затем на ось Oy и, наконец, на ось Oz путем умножения скалярного на орт i, затем на j и наконец на k, получаем

x˙˙(i i)+y˙˙(j i)+z˙˙(k i)= - (μ/ r3)( x(ii)+y(ji)+z(ki)),

x˙˙=- (μ/ r3) x.

Поступая аналогично, получаем два других равенства:



y˙˙=- (μ/ r3) y

z˙˙=- (μ/ r3) z .

Выражение (4.36) – дифференциальное уравнение невозмущенного движения в ИСК в координатной форме.
Тема 5. Постановка задачи интегрирования дифференциальных уравнений невозмущенного движения спутника

Мы получили математическую модель движения спутника в наиболее простом виде (в виде ДУ)

r˙˙+-(μ/ r3)r=0 . (4.19)

Это уравнение не дает возможности получить качественную характеристику траектории, необходимо его разрешить относительно вектора положения r

r=r(t) или x=x(t), y(t), z(t) . (5.1)

Искомые функции входят в дифференциальное уравнение под знаком дифференцирования дважды:

(d2/dt2)(r(t))=˙r˙ ,

так же находится степень 3/2



r3=(√x2+y2+z2 )3.

Это нелинейное дифференциальное уравнение.



Из двух способов решения ДУ (4.19) мы рассмотрим аналитический метод решения уравнения. В этом методе ищутся явные функции вектора положения r={x, y, z} и вектора скорости r˙={x,y,z} через начальные условия движения движения спутника

r
(5.2)

о=r(tо) или xо=x(tо), yо=y(tо), zо=z(tо)

rо˙=r˙(tо) или xо˙=x˙(tо), yо˙=y˙(tо), zо˙=z˙(tо) .

Итак, требуется получить формулы

xо = x(μ, rо ,iо ,tо ,t)

yо = y(μ, rо ,iо ,tо ,t)

zо = z(μ, rо ,iо ,tо ,t) (5.3)

. . . . . . . . . . . . . . .

zо˙ = z˙ (μ, rо ,iо ,tо ,t) .
Тема 6. Интеграл площадей.

В этом разделе мы получим один из, так называемых, первых интегралов.

r˙˙+(μ/r3) r = 0 (6.1)≡(4.19)

Из раздела дифференциального и интегрального исчисления в математике термин «проинтегрировать выражение» f(t), то есть найти

∫f(t)dt ,

означает найти такую функцию F(t), называемую первообразной, производная которой по t дает подынтегральное выражение f(t), то есть

F(t)= ∫f(t)dt , (6.2)

(dF/ dt)= f(t).

Преобразуем (6.1) к виду, удобному для интегрирования, то есть удобному для получения первообразной функции; для этого умножим векторно слева равенство (6.1) на текущий радиус - вектор спутника.

r = r(t),

r× r˙˙ + (μ/ r3)( r×r)= r×0 . (6.3)

По свойству модуля векторного произведения имеем:

|а × b |=а bsin(а˄b),

| r × r |= r rsin0о =0.

Тогда получаем вектор

r × r˙˙=0. (6.4)

Ищем интеграл по t:

∫(r × r˙˙)dt= ∫0dt . (6.5)

Подберем первообразную к подынтегральному выражению r × r˙˙.

Пусть первообразная

r × r˙. (6.6)

Проверим, так ли это, дифференцируя по t:

(d/dt)(r × r˙) = r˙× r˙+ r × r˙˙= r × r˙˙.

Подставляя (6.7) в (6.5) получаем

∫(d/dt)(r × r˙)dt = с

Или


r × r ˙= с . (6.8)

Выражение (6.8) в небесной механике носит название интеграла площадей.

Векторная константа с – производная постоянная интегрирования и носит название векторной константы площадей.

с определяется по начальным условиям движения спутника в положении rо= r(tо) и в скорости r˙о= r˙(tо) , которая должна быть известна.

Интеграл площадей справедлив для любого момента времени t



r(t) × r˙( t) = с , (6.8)

значит он справедлив для момента tо



с = rо × rо˙ . (6.9)

Теперь с получает конкретные численные координаты. Мы получили интеграл площадей в векторной форме (6.8).


Интеграл площадей в координатной форме.

Здесь надо поступать так же, как это делалось в переходе от векторной формы Оу (6.1) к координатной форме (см раздел 5).

Для этого надо каждый вектор, входящий в векторное равенство (6.8), представить его разложение по координатам ( в проекции на оси координат Оx, Оy, Оz):

с = сxi + сyj + сzk

r = xi + yj + zk (6.10)

r˙= x˙i + y˙j + z˙k ,

с = {сх, сy, сz}

r = { x ,y, z } (6.10)

r˙= { x˙,y˙,z˙} ,

и подставим (6.10) в (6.8)


(x i+ y j+ z k) ×( x˙i+ y˙j+ z˙k) = сxi + сyj + сzk (6.11)

xx˙i × i + y x˙j × i + z x˙k × i +… =с x i+…

…+ xy˙i × j + y˙j × j + zy˙k × j +… +с y j+… (6.12)

+ xz˙i × k + z˙yj × k + zz˙k × k +с z k



j × k = + i; j × i= - k; k × i= j .

- yx˙k + zx˙j + xy˙k - zy˙i – xzj + yz˙i = сxi + сyj + сzk . (6.13)

Приравниваем множители при одинаковых ортах слева и справа от знака равенства, получаем:

с x= y z ˙ - z y ˙

с y= z x ˙ - x z ˙ (6.14)

с z= x y ˙ - y x ˙ .

Правило циклической перестановки:



x


y

z

Тема 7. Нормальное уравнение плоскости орбиты в векторной форме. Физический смысл векторной константы площадей

Умножим интеграл площадей (6.8)

r × r˙ = с (6.8) ≡(7.1)

скалярно на текущий радиус – вектор спутника r = r(t)

(r × r˙)r = сr . (7.2)

Левая часть равенства (7.2) есть смешанное произведение (векторно – скалярное) трех векторов:

(а × b) с = f – скаляр , (7.3)

Численно равный V параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Отсюда следует, что если два вектора из трех равны друг другу и совпадают по направлению, то V = 0.

Смешанные произведения подчиняются циклической перестановке векторов:

(а × b) с = (b × с) а = - (с × b) а, (7.4)

(r × r˙) r = (r × r) r˙ = 0 r˙ = 0 = с r,



сr = 0. (7.5)

Покажем, что выражение (7.5) представляет собой уравнение плоскости.

Из аналитической геометрии известно, что всякое уравнение первой степени от трех переменных есть уравнение плоскости

Аx+Вy+Сz+D = 0 , (7.6)

А,В,С,D – производные константы.

x, y, z – координаты текущей точки в трехмерном пространстве Оxyz.

Перепишем скалярное уравнение плоскости (7.6) в векторном виде, для этого введем вектор N с тремя компонентами

N= {А, В, С} или N=Аi + Вj + Сk . (7.7)

Введем радиус – вектор



r = { x y z } или r = xi+ yj+ zk . (7.8)

Подставляя (7.7) , (7.8) в (7.6) получаем:



N r + D = 0 . (7.9)

Так как | N | = N =√ А222 ≠ 0, то разделим (7.9) на модуль вектора N

(N/ N)r = D/ N .

Обозначим



Nо= N/ N; p= D/ N , (7.10)

Nо r = p . (7.11)

Выражение (7.11) в математике называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме.

Входящие в него компоненты Nо и p имеют следующий геометрический смысл (рис. 7.1):

Рис. 7.1. Геометрический смысл констант нормального уравнения плоскости

p – скаляр, равный расстоянию от начала координат до плоскости π по нормали. r – текущий радиус – вектор плоскости.

Из общего (скалярного) уравнения плоскости в трехмерном пространстве

Аx + Вy + Сz + D = 0 (7.6)

мы получили, так называемое, нормальное уравнение плоскости в векторной форме



Nо r = p . (7.11)

Сравним полученное нормальное уравнение плоскости (7.11) с выражением (7.5), которое вытекает из интеграла площадей (6.8).

Из сопоставления (7.5) и (7.11) следует, что выражение (7.5) представляет собой нормальное уравнение плоскости орбиты спутника, в котором векторная константа площадей с есть нормаль к плоскости орбиты, радиус – вектор спутника r – текущий радиус – вектор плоскости орбиты, а скаляр p=0, что свидетельствует о том, что плоскость орбиты проходит через начало координат инерциальной системы координат Оxyz.

Уравнение плоскости орбиты можно написать и так (|с |≠0):



соr = 0, (7.12)

где со – орт константы с.

Таким образом, из сопоставления (7.11) и (7.5) вытекает физический смысл векторной const площадей: это нормаль к плоскости орбиты, в которой совершается движение спутника. Если в качестве спутника рассматривать ИСЗ, тогда центральным телом будет являться Земля и плоскость орбиты ИСЗ будет рассекать Землю пополам, проходя через центр масс Земли. При этом плоскость орбиты будет оставаться ориентированной относительно «неподвижных» звезд, а Земля будет «проворачиваться» внутри орбитального кольца.
Тема 8. Углы Эйлера, определяющие ориентировку плоскости орбиты спутника.

На рис. 8.1. покажем плоскость орбиты спутника относительно ИСК Оxyz и два угла Эйлера, которые задают ориентировку плоскости.



Рис. 8.1. Углы Эйлера для плоскости орбиты спутника

Плоскость – двумерное тело, поэтому для задания ее ориентировки достаточно двух углов Эйлера:

- один угол i определяет наклон плоскости орбиты π к основной координатной плоскости Оxy и называется в небесной механике наклонением плоскости орбиты или наклоном плоскости орбиты (но не наклонностью) с областью определения 0

- Другой угол Ω определяет ориентировку линии узлов орбиты ОΩ, относительно оси абсцисс ИСК Оxyz , с областью определения

0< Ω <2π . (8.2)

Этот угол в небесной механике называют прямым восхождением восходящего узла орбиты Ω (или долготой восходящего узла орбиты)

Орбита спутника пересекает основную координатную плоскость как минимум дважды, точки пересечения орбиты с основной координатной плоскостью называется узлами орбиты.

Точка Ω, в которую спутник переходит из области отрицательных аппликат (z<0) в область положительных (z>0), называется восходящим узлом орбиты.

Точка V, в случае невозмущенного движения, диаметрально противоположна восходящему узлу Ω. В ней спутник переходит из z>0 в область z<0. Точку V называют нисходящим узлом орбиты. Линию ОΩ, соединяющую начало координат О и восходящий угол Ω называют линией узлов орбиты.

Другой геометрический смысл линии узлов орбиты – это линия пересечения плоскости орбиты π с основной координатной плоскостью Оxy(Е).

Линия узлов – направленная линия.

Ее положительное направление от 0 до Ω. Орт линии узлов Ωо определяется через константу интегрирования с с помощью векторного произведения

i = {0,0,1 },

j = {0,1,0 },

k = {0,0,1 },

Ωо= (k ×с)/ | k ×с | . (8.4)

Теперь вычислим углы Эйлера i и Ω с помощью полученной константы с. Для этого воспользуемся понятием скалярного произведения двух векторов и следствием из него



аb=аbcosα , α (а˄b) , (8.5)

аbxbx + аyby + аzbz , (8.6)

аb/аb = f , (8.7)
α = arccos f ; f = аb/аb ,

или


f = аxbx + аyby + аzbz , (8.8)

i = arcсos (kс/с) , (8.9)

или раскрывая с = схi + сyj + сzk, находим, что

f = kс/с = сz/с . (8.10)

Таким образом

i = arcos (сz/с) . (8.11)

Для определения второго угла Эйлера Ω с областью [0 ; 2π) одной функции arccosf недостаточно для однозначного получения кругового значения угла Ω. В этом случае надо построить два вспомогательных вектора, с помощью которых можно будет получить Ω от 0 до 2π однозначно.

Введем орт Ωо линии узлов ОΩ посредством векторного произведения двух векторов k = { 0, 0, 1} и с = {схуz} по формуле



Ωо = k ×с/ | k ×с | . (8.4)

Используя орт j оси ординат в качестве второго вектора, дополняющего искомый угол Ω до 90о. Теперь, применяя дважды скалярное произведение (один раз к углу Ω, другой к углу 90о - Ω), получаем:


(8.12)


f = iΩо = cosΩ

g = jΩo = cos(90 - Ω) .

Отсюда

tg Ω = g/f . (8.13)



Круговое значение угла Ω находим с помощью алгоритма

Ωгл = arctgh, h = g/f,

Ωгл, если g>0 и f>0,

Ω= Ωгл + π, если f<0 и g – любое, (8.14)

Ωгл + 2π, если g<0 и f>0.

Таким образом, мы нашли два угла Эйлера i и Ω, задающие ориентировку плоскости орбиты, как функции начальных условий движения спутника:

r о = {хо,уо, zо } и rо˙ = {хо˙ ,уо˙, zо˙},

посредством которых в начале находился вектор с = rо × rо˙ , а затем по с углы i и Ω.

Тема 9. Элементарные матрицы поворота (или вращения)

Матрицы поворота применяются в небесной механике, в космической геодезии, фотограмметрии и и других геодезических дисциплинах, где применяется преобразование координат.

Определение: матрица поворота – ортогональная матрица, осуществляющая преобразование прямоугольных координат из одной системы в другую с общим началом. Элементарной матрицей поворота называется матрица размера 3×3, осуществляющая элементарный поворот координатной системы вокруг одной из координатных осей. Рассмотрим вывод одной элементарной матрицы поворота.

Постановка задачи: пусть дан r = {х, у, z} – в проекциях на оси исходной системы координат Охуz (рис.9.1)

Рис 9.1 – вращение исходной СК Охуz на угол α вокруг оси аппликат

Пусть исходная СК повернута на положительный угол α вокруг оси Оz. Положительный угол поворота α считается по правилу либо часовой стрелки, либо правилу винта или правой руки. После поворота исходной СК мы получим штриховую (новую) СК Ох˙у˙z˙.

Требуется преобразовать координаты вектора r из исходной СК в штриховую СК, то есть



r = {х,у,z} r = {х˙, у˙, z˙}. (9.1)

Решение задачи:

Так как в обеих системах вектор точки m один и тот же, то его можно представить разложением по координатным осям исходной и штриховой СК так:

r = х i + у j + z k = х˙ i˙ + у˙ j˙ + z˙ k˙ . (9.2) |i˙|j˙|k˙

Умножая скалярно равенство (9.2) сначала на орт i˙, затем его же на орт j˙и, наконец, на орт k˙, последовательно получаем:

х˙ = (i i˙)х + (j i˙)у + (k i˙)z

у˙ = (i j˙)х + (j j˙)у + (k j˙)z (9.3)



z˙ = (i k˙)х + (j k˙)у + (k k˙)z .

Перепишем три скалярных равенства в виде одного матричного равенства.



х˙ (i i˙), (j i˙), (k i˙) х

у˙ = (i j˙), (j j˙), (k j˙) у (9.4)

z˙ (i k˙), (j k˙), (k k˙) z .

Обозначим



cos(xx˙) cos(yx˙) cos(zx˙)

А = cos(xy˙) cos(yy˙) cos(zy˙) (9.5)

cos(xz˙) cos(yz˙) cos(zz˙) .

Из (9.5) следует, что

iх˙ jх˙ kх˙

А = iу˙ jу˙ kу˙ (9.6)

iz˙ jz˙ kz˙ ,

или i˙х i˙у i˙z



А = j˙х j˙у j˙z (9.7)

k˙х k˙у k˙z .

Таким образом, матрицу А называют матрицей направляющих косинусов осей одной СК по отношению к осям другой СК.

i= {iх˙, iу˙, iz˙} = {1, 0, 0},

j= {jх˙, jу˙, jz˙} = {0, 1, 0},

k˙={kх˙, kу˙, k z˙} = {0, 0, 1},

или А = [i j k] , (9.8)


или i˙

А = j˙ , (9.9)

k˙

Итак, матрица А есть матрица общего ортогонального преобразования.



Применим ее к нашему частному случаю – повороту исходной СК на угол α вокруг оси Оz.

х˙ cosα cos(90-α) 0 x

y˙ = cos(90-α) cosα 0 y



z˙ 0 0 1 z

или



x˙ cosα sinα 0 x

y˙ = -sinα cosα 0 y . (9.9)*



z˙ 0 0 1 z

Введем общее обозначение для элементарных матриц поворота



Ri(α) , (9.10)

Где R – матрица 3×3 поворота, i – индекс, принимающий значения i=1,2,3.

Если i=1, то ось поворота абсцисс, если i=2, то ось ординат, i=3- аппликат.

α – угол «+» поворота.

Применим обозначение (9.10) к (9.9)*. Тогда

х˙ х

у˙ = R3(α) у . (9.11)

z˙ z

Если совершить вращение ИСК на угол α вокруг оси абсцисс, то R будет иметь вид.

1 0 0


R1(α) = 0 cosα sinα , (9.12)

0 -sinα cosα



cosα 0 -sinα

R2(α) = 0 1 0 , (9.13)

Sinα 0 cosα



cosα sinα 0

R3(α) = -sinα cosα 0 (9.14)

0 0 1


Мнемоническое правило формирования элементарных матриц поворота.

Общее обозначение элементарной матрицы поворота



Ri(α). (9.10)

Если даны i и α, то матрицы Ri(α) формируются по правилу:



  1. На пересечении i - й строки и i - го столбца матрицы Rставится 1.

  2. В остальных элементах i - й строки и i - го столбца ставится 0.

  3. Два оставшихся элемента заполняются sinα.

При этом у sinα следующего после нулевого элемента в циклической перестановке элементов данной строки ставится знак минус.
Тема 10. Общий случай преобразования координат с помощью «n» элементарных поворотов.

Для случая «n» элементарных поворотов применяется формула



х˙ х

у˙ = Rin(α1)… Riα (α2) Ri1(α1) у , (10.1)



z˙ z

где х,у,z – координаты вектора r = {х,у,z} в исходной СК,

х˙у˙z˙ - координаты этого же вектора r = {х˙,у˙,z˙},

ik, αk, k =1,...,n – номера координатных осей поворота.

Эту формулу (10.1) докажем методом индукции:

Вначале рассмотрим случай двух поворотов (n=2), а затем распространим его на случай n+1 поворотов.

Пусть штриховая СК Ох˙у˙z˙ получена вращением исходной СК. В начале, допустим, вокруг оси аппликат (i1=3) на угол α1, а затем вокруг оси, допустим, аппликат (i2=2) на угол α2 (рис.10.1)

Рис. 10.1. Два элементарных поворота



В результате после первого поворота согласно формуле (9.11)

х(1) х

у(1) = R3(α1) у . (10.2)

z(1) z

После второго поворота уже повернутой СК Ох(1)у(1)z(1) имеем на основе формулы (9.11):

х(2) х(1)

у(2) = R3(α1) у(1) . (10.3)

z(2) z(1)

Объединив (10.2) и (10.3) получаем общий результат после двух поворотов:

х˙ х(1)



у˙ = R2(α2) у(1) . (10.4)

z˙ z(1)

Распространяя формулу (10.4) на случай «n» вращений, получаем:

х˙ х

у˙ = Rin(αn)…Ri2(α2) Ri1(α1) у . (10.1)

z˙ z


Правила применения матриц поворота для преобразования прямоугольных координат какого – либо вектора.

Пусть даны углы Эйлера, связывающий взаимную ориентировку двух прямоугольных СК:

α1, α2, …, αn (10.5)

и даны координаты вектора в исходной СК

r = {х,у,z}. (10.6)

Требуется получить координаты этого вектора в штриховой СК (с общим началом О исходной СК)



r = {х˙, у˙, z˙}. (10.7)

1. Отыскивается такой угол поворота αk, среди заданных α1, α2,… αn, плоскость которого перпендикулярна одной из осей координат исходной СК.

2. Осуществляется первое преобразование координат вектора r по формуле:

r(1)=Rik(αk)r.


  1. Снова выбирается такой угол поворота среди оставшихся углов, плоскость которого перпендикулярна одной из осей уже повернутой СК.

  2. Осуществляется второе преобразование

х(2) х

y(2) = Ris(αs) Rik(αk) y .

z(2) z


  1. Повторяем действия 3 и 4 до тех пор, пока не произойдет совмещение осей исходной СК со штриховой СК.

Тема 11. Применение матриц поворота для определения углов Эйлера , ориентирующих плоскость орбиты спутника относительно ИСК Охуz.

Пусть по начальным условиям движения спутника

rо = {хоо, zо} и r̊о = {х̊о ,у̊о, z̊о} в tо (11.1)

получена векторная константа площадей



с = rо × r˙о . (11.2)

Требуется определить углы Эйлера i и Ω для плоскости орбиты спутника.

Решение: покажем на рис.11.1 ИСК Охуz углы:

i – наклонение плоскости орбиты,

Ω – долгота восходящего узла орбиты.

Рис. 11.1 Углы Эйлера i, Ω плоскости орбиты спутника

Из (10.2), раскрывая векторное произведение, получаем три скалярных равенства вектора

с = {сх, суz }

сх = уоzо˙ - zоуо˙

су = zохо˙ - хоzо˙ . (11.3)

сz = хоуо˙ - уохо˙

Для вычисления углов Эйлера i и Ω воспользуемся преобразованиями вращения. Для этого введем штриховую СК с осью аппликат вдоль вектора с, с осью абсцисс вдоль линии узлов орбиты ОΩ, ось ординат дополняет СК до правой. В штриховой СК вектор с будет иметь координаты:



с = {0,0,с}, где с = |с | . (11.4)

Теперь преобразуем координаты вектора с из (11.4) в проекции на оси ИСК Охуz по формуле:

Сх 0

Су = R3(-Ω) R1 (-i) 0 . (11.5)

Cz c

Раскрывая матрицу поворота и перемножая их, получаем преобразование координат вектора с из штриховой СК в ИСК Охуz, получаем:

cх 1 0 0 0 cos(-Ω) sin(-Ω) 0 0

cy = R3(-Ω) 0 cos(-i) sin(-i) 0 = -sin(-Ω) cos(-Ω) 0 * -csini ,

c z 0 -sin(-i) cos(-i) c 0 0 1 ccosi
cx csini sinΩ

cy = -csini cosΩ . (11.6)



cz ccosi

Формулы (11.6) дают прямую связь углов Эйлера i, Ω прямоугольными координатами векторной константы площадей с. Обратная связь – определение углов i и Ω по сх, су, сz получается из решения трех уравнений (11.6) относительно трех неизвестных i, Ω, с при условии, что даны сх, су, сz.

tg Ω = cx/(-cy) . (11.7)

Обратить внимание на то, что знак минус в знаменателе в формуле для tgΩ, нельзя переносить ни в числитель ни в целом в дроби, то есть формально равенство справедливо

tg Ω = -cx/cy = -cx/cy ,

но при вычислении кругового значения Ω = arctg(cx/-cy) ≠ arctg(-cx/cy).


Тема 12. Интеграл площадей в полярной формуле

Мы получили интеграл площадей в ИСК Охуz в виде



с = r × r˙. (12.1)≡(6.8)

Рис. 12.1. Интеграл площадей в орбитальной СК Оξηζ

Интеграл площадей (6.8) справедлив в любой ИСК. Выберем ИСК, связанную с плоскостью орбиты Оξηζ. В орбитальной СК Оξ; векторная форма интеграла площадей не меняется с = r × r˙.

Координатная форма (12.1) примет вид:



с = {сξ, сη, сζ}, r = {ξ, η, ζ }, i = {ξ, η, ζ}. (12.2)

Применяя мнемоническое правило для раскрытия векторного произведения «по кольцу» получаем

сξ = ηξ˙ - ξη˙

сη = ζξ˙ - ξζ˙ . (12.3)



сζ = ξη˙ - ηξ˙

Из рис. 12.1:

ξ = 0, ξ˙ = 0 , (12.4)

поэтому (12.3) принимает вид:

сη ≡ 0 , сζ ≡ 0 , сξ = с = |c|, (12.5)

с = ξη˙ - ηξ˙ . (12.6)

Введем полярные координаты спутника u и r в орбитальных СК (рис. 12.1 и рис. 12.2):

Рис. 12.2 Полярная СК

Угол u – полярный угол точки m,

Расстояние r – полярное расстояние.

В небесной механике полярный угол u называется аргументом широты спутника.

r - геоцентрическое расстояние до спутника. Связь прямоугольных (ξ η ζ) и полярных (u, z) координат спутника вытекает из рис. 12.2

ξ = ηcosu, η = rsinu, и ζ = 0. (12.7)

Отсюда находим связь скоростей изменения прямоугольных ξ˙, η˙, ζ˙ и полярных u˙, r˙ координат. Дифференцируя (12.7) по t, получаем:




(12.8)
ξ˙ = r˙cosu - ru˙sinu

η˙ = r˙sinu + ru˙cosu

Подставляя (12.7) и (12.8) в интеграл площадей (12.6) в орбитальной СК, получаем

с = rcosu(r˙sinu + ru˙cosu – rsinu(r˙sinu - ru˙sinu) = r2u˙ ,

c = r2u˙ . (12.9)

Выражение (12.9) носит название полярной формы интеграла площадей.


Тема 13. Физический смысл модуля векторной константы площадей.
Для вычисления физического смысла «с» в полярной СК рассмотрим два бесконечно близких положения спутника (рис. 13.1) в моменты t и t+ ∆t j

Рис. 13.1 К определению физического смысла модуля вектора константы площадей

Вычислим площадь ∆S сектора Оmm˙ (ввиду малости угла ∆u)

∆S = (1/2) r∆ur

и перейдем к пределу отношения ∆S к ∆t и ∆u к ∆t


∆ t→0


Lim(S/∆t) = lim((r2∆u)/2∆t) = (r2/2)lim(∆u/ ∆t). (13.1)

Из курса дифференциального исчисления следует, что


(13.2)



∆ t→0
Lim(∆S(t)/ ∆t) = dS/dt = S˙


∆ t→0


Lim(∆u/ ∆t) = du/dt = u˙ .

Величина u˙ имеет физический смысл угловой скорости движения спутника, а величина S˙ - секториальная скорость движения спутника (или площадная скорость)

Подставляя в (13.1) выражение (13.2), получаем, что

S˙ = r2u˙/2 . (13.3)

Сравнивая теперь (13.3) с (12.9) приходим к выводу, что

с= r2u˙ , (12.9)

модуль векторной константы площадей равен удвоенной секториальной скорости:

с= 2S˙ , (13.4)

S = с/2 . (13.5)
Тема 14. Второй закон Кеплера в классической и современной формулировке
Современная формулировка закона Кеплера выражается формулой (13.4): «Удвоенная секториальная скорость движения спутника есть величина постоянная».

Для получения классической формулировки второго закона Кеплера рассмотрим четыре положения спутника m на орбите (рис. 14.1) таких, что интервал времени удовлетворяют условиям:

t2 – t1 = ∆t и t4 – t3 = ∆t . (4.1)

Рис. 14.1 – второй закон Кеплера в классической формулировке

Вычислим площади секторов ∆S12 и ∆S34 с помощью выражения (13.5) S = с/2

∆ S12 = ʃ S˙dt = ʃ(cdt/2) =(c(t2 – t1))/2 = (c∆t)/2 , (14.2)

∆ S34 = ʃ S˙dt = ʃ(cdt/2) = (c(t4 – t3))/2 = (c∆t)/2 . (14.3)

Из сравнения (14.2) и (14.3) следует,

∆S12 = ∆S34 . (14.4)

Отсюда следует формулировка второго закона Кеплера: «За равные промежутки времени ∆t радиус – вектор спутника огибает равные площади.


Тема 15. Интервал энергии спутника.

Дифференциальное уравнение, выведенное на основе трех законов Ньютона



r˙˙ + μr/r = 0. (15.1)

Выражение (15.1) приведем к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножим скалярно (15.1) на удвоенный вектор скорости спутника r˙=V

2r˙r˙˙ + μ2r˙r/r3 = 0 . (15.2)

Покажем, что первое слагаемое в (15.2) есть равенство

2r˙r˙˙ = (d/dt)(r2) . (15.3)

Действительно, дифференцируя правую часть (15.2), получаем

(d/dt)(r˙2) = 2r˙r˙˙ , следовательно равенство (15.3) справедливо. Покажем, что второе слагаемое в (15.2) есть равенство

r˙r/r3 = - 2μd/dt(1/r) . (15.4)

Вычислим (d/dt)(r2) = 2rr , (15.5)

r2 = rr = rrcos(0) = r2 . (15.6)

Выражение (15.6) в векторной алгебре носит название скалярного квадрата:



аа = а2 = а2 . (15.6*)

Вычислим (d/dt)(r2) = (d/dt)(r2) = 2rr˙ . (15.7)

Сравнивая (15.7) и (15.5), находим

(d/dt)(r2) = 2rr˙ = 2rr˙. (15.8)

Подставляем (15.8) в левую часть (15.4) имеем

r˙r/r3 = - 2μrr˙/r3 = -2μr˙/r2 = -2μd/dt(-1/r) , (15.9)≡(15.4)

(d/dt)(-1/r) = +r˙/r2 . (15.10)

Теперь, подставляя (15.4) и (15.3) в исходное уравнение (15.2) получаем уравнение, удобное для интегрирования

(d/dt)(r˙2) - 2μd/dt(1/r) = 0 . (15.11)

Интегрируя (15.11), получаем

2 - 2μ/r = ʃ0dt = h,

или, учитывая r˙≡V и r˙2 = V2 = V2, окончательно имеем

V2 = 2μ/r + h . (15.2)

Выражение (15.12) носит название в небесной механике интеграла энергии.

Это название следует из выяснения физического смысла введенной произвольной постоянной интегрирования h.

Величина h называется константой энергии.

Чтобы выяснить физический смысл h, умножим равенства (15.12) на половину массы спутника

m = const

mV2/2 + ( - μm/r) = mh/2 , (15.13)

где mV2/2 – кинетическая энергия спутника с массой m,



  • μm/r = - fμm/m – потенциал.

Тогда левая часть (15.13) есть сумма кинетической и потенциальной энергии спутника, следовательно mh/2 есть полная энергия спутника.

Отсюда следует, закон сохранения полной энергии в, так называемой, замкнутой механической системе, состоящей из двух тел (центральное тело и спутник), и на которую действует только внутренняя сила системы – сила взаимного тяготения. Полная энергия спутника остается постоянной во все время движения спутника по орбите (рис. 15.1):

V21

r2>r1




Рис. 15.1 Изменение кинетической и потенциальной энергии движения спутника

ЧАСТЬ № 3
скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
Небесная механика один из разделов астрономии
1100.92kb.
Литература. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. М., Высшая школа, 1986г
105.91kb.
Программа по астрономии 12 класс
89.78kb.
Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по астрономии в 2009-2010 учебном году
84.18kb.
«Резьба по дереву» является одной из основных тем разделов программы «Технология»
40.83kb.
Реферат по астрономии тема: " Планеты-гиганты " учащийся 11 "Б" класса псош прытков А
211.66kb.
Проведение Международного Года Астрономии (мга2009) должно помочь людям всего мира вновь осознать их место во Вселенной, наблюдая небо как днём так и ночью и, таким образом, открыть для себя что-то новое
45.28kb.
Рабочая программа учебной дисциплины оп. 04. Техническая механика основной профессиональной образовательной программы по специальности
292.32kb.
Математика, информатика и механика
189.22kb.
Механика материальных точек
216.51kb.
Фурсенко Ангелина
22.08kb.
Кафедра технической механики
1287.6kb.