Главная страница 1
скачать файл

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белоозерский государственный

профессионально-технический колледж электротехники»

 

 



 

  

 



 

 

 



 

Основы высшей математики

 

Методические указания

 

по выполнению



домашней контрольной работы

для учащихся-заочников учреждений,

обеспечивающих получение

среднего специального

образования по специальности

«Монтаж и эксплуатация электрооборудования»

 

 

 



 

 

 



 

  

  



  

 

 



 

 

Белоозерск, 2009



 
Разработка включает методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы, задания контрольной работы и решение типовых заданий.

Предназначена для учащихся-заочников средних специальных учреждений образования



Составитель:

Куделич Л.В., преподаватель математики
Технический редактор:

Черняк О.П. , оператор ЭВМ

Белоозерск, 2009
Общие методические указания
Основной формой изучения курса «Основы высшей математики» для учащихся-заочников является самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями, сборниками задач и упражнений, справочниками. Список основных и наиболее доступных из них приводится в конце пособия.

К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса. Изучение любого раздела курса следует начинать с конспекта установочных лекций, соответствующих глав учебника, учебного пособия или руководства к решению задач, в которых имеется необходимая теория, приводятся расчетные формулы и решения задач по темам.

Нужно также внимательно разобрать решения задач типового варианта контрольной работы, которые приводятся в данном пособии. После этого, по аналогии с решением типового варианта к контрольной работе, можно приступать к решению самой контрольной работы.

При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими указаниями:


  1. Контрольная работа должна быть выполнена и представлена на проверку в срок, предусмотренный учебным планом.

  2. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы учащегося, полный шифр.

  3. Условия всех задач нужно записывать полностью, а их решения располагать в порядке номеров, указанных в заданиях.

  4. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи.

  5. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко, с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.

  6. Для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3-4 см.

  7. В конце работы надо указать перечень использованной литературы, поставить подпись и дату.

После получения прорецензированной работы (как зачтенной, так и незачтенной) учащийся должен исправить в ней все отмеченные недостатки.

В случае незачета контрольной работы учащийся обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

В период экзаменационной сессии учащийся обязан представить зачтенную контрольную работу и при необходимости (по требованию преподавателя) должен дать устные пояснения ко всем задачам, содержащимся в работе.


Программа курса «Основы высшей математики»


  1. Комплексные числа.

  2. Элементы линейной и векторной алгебры.

  3. Функция. Предел последовательности и предел функции.

  4. Дифференциальное исчисление функций одной и многих переменной.

  5. Неопределенный и определенный интегралы.

  6. Дифференциальные управления.

  7. Числовые и функциональные ряды.

  8. Элементы комбинаторики, теории вероятностей.


Критерии оценки выполнения домашней контрольной работы

Отметка «зачтено» выставляется при условии:



  • работа выполнена в полном объеме, в соответствии с заданием;

  • задачи решены верно, ход решения пояснен;

  • графические задания выполнены аккуратно. Работа аккуратно оформлена, приведен список использованной литературы.

Работа может быть зачтена, если она содержит единичные несущественные ошибки:

  • отсутствие выводов в решении задач;

  • арифметические ошибки, в решении задач, не приводящие к абсурдному результату и т. п.;

  • при отсутствии списка используемой литературы или несоответствии его оформления стандарту.

Отметка «не зачтено» выставляется при условии:

Работа выполнена не в полном объеме или содержит следующие существенные ошибки:



  • отдельные задания в работе освещены не в соответствии с вариантом задания;

  • неправильно употребляются научная терминология и единицы измерения;

  • для решения задач неправильно выбрана формула, допущены грубые ошибки в расчетах;

- схемы, графические задания выполнены не в полном объеме.


Контрольная работа, выполненная небрежно, неразборчивым почерком, а также не по заданному варианту, возвращается учащемуся без проверки, с указанием причин возврата.
Порядок выполнения домашней контрольной работы

Учащийся выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (т.е. 1, 3, 5, 7, 9), то номер задач для соответствующего варианта даны в таблице 1.



Если же предпоследняя цифра учебного шифра есть четное число или нуль (т.е. 2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2.
Таблица 1

Номер варианта

Номера задач для учащихся, у которых предпоследняя цифра

учебного шифра 1, 3, 5, 7, 9



1

1

11

31

51

71

91

101

111

121

2

2

12

32

52

72

92

102

112

122

3

3

13

33

53

73

93

103

113

123

4

4

14

34

54

74

94

104

114

124

5

5

15

35

55

75

95

105

115

125

6

6

16

36

56

76

96

106

116

126

7

7

17

37

57

77

97

107

117

127

8

8

18

38

58

78

98

108

118

128

9

9

19

39

59

79

99

109

119

129

0

10

20

40

60

80

100

110

120

130


Таблица 2

Номер варианта

Номера задач для учащихся, у которых предпоследняя цифра

учебного шифра 2, 4, 6, 8, 0



1

2

21

41

61

81

93

104

117

131

2

3

22

42

62

82

94

105

118

132

3

4

23

43

63

83

95

106

119

133

4

5

24

44

64

84

96

107

120

134

5

6

25

45

65

85

97

108

111

135

6

7

26

46

66

86

98

109

112

136

7

8

27

47

67

87

99

110

113

137

8

9

28

48

68

88

100

101

114

138

9

10

29

49

69

89

91

102

115

139

0

1

30

50

70

90

92

103

116

140


Решение задач типового варианта контрольной работы
Задание 1. Даны комплексные числа ż1= -2 + ί и ż2= 3 + ί . Найти: 1) ż1 + ż2

2) ż2 - ż1 3) ż1 * ż2 4) ż1 / ż2



Решение

  1. ż1 + ż2 = -2 + ί + 3 + ί = (-2+3) + ί (1+1) = 1+2ί

  2. ż2 - ż1 = 3 + ί – (- 2 + ί) = (3-(-2)) + ί (1-1) = 5+0ί = 5

  3. Перемножим числа ż1 и ż2:

ż1 ∙ ż2 = (-2 + ί) ∙ (3 + ί) = (-2∙3-1∙1)+(-2∙1+3∙1)ί = -7 + ί

  1. Для нахождения частного ż1ż2 = -2+ί 3+ί умножим числитель и знаменатель дроби на 3 – ί (т.е. на число, сопряженное знаменателю). Тогда получим:

ż1ż2 = -2+ί(3 – ί) 3+ί (3 – ί)=-6+2ί+3ί-ί232-ί2=-5+5ί4=-54+54 ί , т.к. ί 2 = -1
Задание 2. Дана система линейных уравнений.

х + 5у – z = 3,

2x + 4y -3z = 2,

3x – y – 3z = -7.

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместимости решить ее:


  1. методом Гаусса;

  2. методом Крамера;

  3. с помощью обратной матрицы (матричным методом)

Решение

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы


А = 15-124-33-1-3
данной системы и ранг расширенной матрицы
В = 15-124-33-1-3 32-7
Для этого умножим первую строку матрицы В на -2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на -3 и сложим с третьей. Поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

В = 15-124-33-1-3 32-7 ~ 15-10-6-10-190 3-4-16 ~ 15-10-6-10-190 3-4-16


Следовательно, гаng А = гаng В = 3 (т е. числу неизвестных систем). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
а. Методом Гаусса.

х + 5у – z = 3,

2x + 4y -3z = 2,

3x – y – 3z = -7.

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:


А = 15-124-33-1-3 32-7
(вертикальной чертой отделен столбец, составленный из свободных членов).

Умножая первую строку матрицы А поочередно на -2, -3 и прибавляя соответственно ко второй и третьей, получаем матрицу


1 5 -1 3

А1 = 0 -6 -1 -4

0 -16 0 -16
Матрице А1 соответствует система уравнений

х + 5у – z = 3,

- 6y -3z = - 4,

- 16y = -16.

Из третьего уравнения находим у = 1, второе уравнение дает z = 4 – 6y, т.е. z = -2,

а первое х = 3 – 5у + z, т.е. х = - 4.

Следовательно, исходная система также имеет решение.

х = - 4; у = 1; z = - 2

Ответ: (-4; 1; -2)
б. Методом Крамера.
х= ∆х∆ ; у= ∆у∆ ; z= ∆z∆

где


∆ = 15-124-33-1-3 = - 16

х = 35-124-3-7-1-3 = 64


у = 13-122-33-7-3 = -16
z = 1532423-1-7 = 32
Находим: х= 64-16= -4; у= -16-16=1; z= 32-16= -2

Ответ: (-4; 1; -2)
в. Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме АХ = С → X = А-1 • С, где А-1 - обратная матрица к А, С - столбец правых частей.
А = 15-124-33-1-3 , С = 32-7 , X= хуz

Находим обратную матрицу (она существует, так как ∆А = -16 ≠ 0).


А-1 = 1∆А А11А21А31А12А22А32А13А23А33

Найдем алгебраические дополнения:


А11= 4-3-1-3= -15 А21= 5-1-1-3= 16
А31= 5-14-3= -11 А12= -2-3-3-3= -3
А22= 1-13-3= 0 А32= -1-12-3= 1
А13= 2 43-1= -14 А23= -153-1= 16
А33= 1524= -6
А-1 = 1-16 -1516-11-301-1416-6

Решение системы:




(- 45 + 32 + 77) / (- 16)

(- 9 – 7) / (- 16)

(- 42 + 32 + 42) / (- 16)

X= хуz = - 116 -1516-11-301-1416-6 32-7 = = -41-2 -41-2


Итак, х = - 4, у = 1, z = -2.

Ответ: (-4; 1; -2)
Задание 3. Найти пределы:
а) 5х2 + 13х + 6 б) 7х4 + 2х3 +5

lim -------------------- lim --------------------

x → - 2 3х2 + 2х – 8 x → ∞ 6х4 + 3х3 – 7x


Решение

а) Здесь имеем неопределенность 00 . Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель (х+2). В результате получим:


2 + 13х +6 5(x+2)(x+3/5) 5(x+3/5)

lim -------------------- = lim -------------------- = lim -------------------- =

x→ -2 3х2 + 2х – 8 x→ -2 3(x+2)(x-4/3) x→ -2 3(x-4/3)
5x + 3 5∙(-2) + 3 -7

= lim ----------- = ---------------- = ---- = 0,7

x→ -2 3x - 4 3∙ (-2) - 4 -10
б) 7х4 + 2х3 +5

lim --------------------

x→ ∞ 6х4 + 3х3 – 7x

Здесь имеем неопределенность ∞∞. Чтобы раскрыть это неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень многочленов в числителе и знаменателе, т.е. на х4

Тогда получим:

4 + 2х3 +5 7 + 2/х +5/х4 7

lim -------------------- = lim -------------------- = ----

x→ ∞ 6х4 + 3х3 – 7x x→ ∞ 6 + 3/х2 – 7/x3 6


так как 2/х, 5/х4, 3/х2, 7/х3 → 0 при x → ∞.
Задание 4. Исследовать функцию y = x3 – 3x2 + 1 и построить ее график.

Решение.

1. Область определения х € (- ∞; + ∞); функция непрерывна во всей области определения.

2. Находим производную функции
у' = Зх2 - 6х,

приравниваем ее к нулю и определяем критические точки (подозрительные на экстремум)

Зх2 - 6х = 0;

Зх (х-2) = 0; х1 = 0, х2 = 2

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум и построим таблицу 1.

Область определения разделится на промежутки (-∞; 0), (0; 2) и (2: +∞). Определим знак производной на каждом промежутке. Имеем у (-1) = 3∙ (-1)2 = - 6 (-1) = 9 > 0,

у' (1) = 3 • 12 - 6 •1 = -3 < 0, у' (3) = 3 • 32-6 • 3 = 27 -18=9>0. Значит, в промежутках (-∞; 0), (2; +∞) функция возрастает, а в промежутке (0; 2) - убывает. Функция имеет максимум при х = 0, у (0) = 03 - 3 • 02 + 1 = 1, а при х = 2 - минимум

у (2) = 23 - 3 • 22 + 1 = -3.

Имеем (0; 1) -точка максимума, (2;-3) - точка минимума.
4. Исследуем функцию на интервалы выпуклости и точки перегиба и составим таблицу 2.

Для нахождения участков выпуклости и вогнутости точек перегиба найдем вторую производную.

у" =(Зх2-6х)' = 6х - 6

6х - 6 = 0; х = 1. Крайняя точка II рода (подозрительна на перегиб).

Определим знаки второй производной слева и справа от точки х = 1. Например, при х = 0, у" (0) = - 6 < 0; при х = 2. у" (2) = 6 • 2 - 6 = 6 > 0. Следовательно, в промежутке (-∞; 1) кривая выпуклая, а в промежутке (1; +∞) - вогнута. При х = 1 имеем точку перегиба, ее ордината у (1 )= 13 -3 • 12 + 1 = -1.

Точка (1; -1) - точка перегиба.

5. Вертикальных асимптот у графика нет, т.к. нет точек разрыва функции.

Ищем наклонные асимптоты в виде у=kx+b.


k = lim y(x)x = lim x3-3x2+1x = lim (x2 - 3x + 1x ) = ∞

x→∞ x→∞ x →∞

т.е. не существует конечного предела вида lim f(x)x = k,

x→∞


то график данной функции асимпотот не имеет.

6. Для уточнения графика функции найдем координаты еще двух точек, абсциссы которых равны - 1 и 3:

У(-1) = (-1)3-3∙(-1)2+1 = - 3

У(3) = 33-3 - 32+1 = 1

(-1; -3); (3; 1) - дополнительные точки.

Строим все найденные точки и соединяем их плавной линией (рис. 1).


Задание 5. Найти y’


  1. y = 4x9 + 8x -5x7+ 10x6

Применяя формулы (xn)'= n·xn-1 , (u(x) ± v(x))’=u’(x) ± v’(x), находим:

y’ = (x9/4 + 8x-1 – 5x7 + 10x-6)’ = (x9/4)’ + 8(x-1)’ – 5 (x7)’ + 10(x-6)’ = 94 x5/4 – 8x2 – 35x6 – 60x7 =

= 2,25x · 4x - 8x2 -35x6 - 60x7.


  1. y = (x3 – 4x2 +6)·sin7x

Применяя формулы (xn)'= n·xn-1, (u(x) · v(x))’=u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x), sin'x=cosx и формулу дифференцирования сложной функции, имеем:
y’= (x3 – 4x2 + 6)’sin7x + (x3 – 4x2 + 6)(sin7x)'= (3x2 – 8x)sin7x + 7(x3 – 4x2 + +6)cos7x.

  1. y = 3x2+4x+72x+3(3x-1) = 3x2+4x+76x2+7x-3

Применяя формулы (u(x)v(x) )’ = u'xvx- uxv'(x)v2(x) ; (xn)'= n·xn-1 ;

(u ± v)’=u’ ± v’, получим:

y’ = 3x2+4x+7'6x2+7x-3-3x2+4x+76x2+7x-3'6x2+7x-32 = (6x+4)6x2+7x-3-3x2+4x+7(12x+7)6x2+7x-32 =

=36x3+42x2-18x+24x2+28x-12-36x3-21x2-48x2-28x-84x-496x2+7x-32 = -3x2-102x-612x+32(3x-1)2



  1. y = ln(x+4)tg2x

y’ = (ln(x+4))’ tg2x + ln (x+4) (tg2x)’= 1x+4 ·tg2x + ln(x+4)· 2cos22x = sin2x(x+4)cos2x + 2ln(x+4)cos22x =

= 0.5 sin4x+ 2 x+4ln(x+4)(x+4)cos22x



  1. y = cos3x·ctg (x4)

y’ = (cos 3x)’·ctg (x4) + cos 3x·(ctg (x4))’= - 3sin 3x · ctg x4 – 4x3 · cos 3x 1sin2x4
Задание 6. Найти полный дифференциал функции Z = 2x2 у 3.

Решение. Находим частные производные данной функции:

ð Z ð Z


---- = 4xy3, ---- = 6x2 y3,

ð x ð y


Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:

dxZ = 4xy3 dx; dyZ = 6x2y2 dy.

Искомый полный дифференциал функций найдем как сумму ее частных дифференциалов:

dZ = 4xy3 dx + 6x2y2 dy.


Задание 7. Найти неопределенные интегралы и результат проверить дифференцированием.

  1. ∫ xdx2-3x2 b) ∫ x2 lnx dx


= ∫ -dt6t

обозначим через t = 2 – 3x2

найдем dt = d (2 – 3x2 ) = (2 – 3x2 ) dx =

= - 6xdx; отсюда следует xdx = - 1/6 dt
Решение.


  1. ∫ xdx2-3x2



= - 16 ∫ t -1/2 dt = - 16 t- 12-1- 12+1 + C = - 16 t 121/2 + C = - 13t + C = - 132-3x2 +C

ПРОВЕРКА:

( - 1/3 2-3x2)’ = ( - 1/3 (2-3x2)1/2)’ = - 1/3 ∙ 1/2 (2-3x2)-1/2 ∙ ( - 3 ∙ 2x) =

= - 1/6 ∙( - 6x) ∙ 1(2-3x2)1/2 = x2-3x2
б) Применим формулу интегрирования по частям:

∫ UdV = U ∙ V - ∫ VdU

Пусть U = lnx, тогда dU= dx / x

dV = x2 dx, V = ∫ x2 dx = x3 /3

Имеем ∫ x2 lnx dx = lnx ∙ x3 /3 - ∫ x3 /3 ∙ dx / x = 1/3 x3 lnx - 1/3 ∫ x2 dx = 1/3 x3 lnx - 1/3 ∙ x3/3 + C = 1/9 x3 (3 lnx – 1) + C

ПРОВЕРКА:

( 1/9 x3 (3 lnx – 1))’ = 1/9 (x3)’ (3 lnx – 1) + 1/9 x3 (3 lnx – 1)’ = 1/9 ∙ 3x2 (3 lnx – 1) + 1/9 x3 (3/x) =

= x2 lnx – 1/3 x2 + 1/3 x2 = x2 lnx

Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/4 (х - 2)2 и х + 2у – 14= 0; сделать чертеж.

Решение. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой

у = f(х), снизу непрерывной кривой у = φ (х), слева - прямой х = а и справа - прямой х = в, вычисляется по формуле:

S = abfx- φxdx

Определим точки пересечения данных линий, для чего решим систему:



у= 1/4 (х-2)2 х + 2у- 14 = 0

Из второго уравнения у = 7 - х/2 подставим значения в первое уравнение системы вместо у разность 7 - х/2, получим:

7-х/2 = 1/4(х-2)2;

7-х/2= 1/4(х2-4х + 4);

28 - 2х = х2 - 4х + 4;

х2 - 2х - 24 = 0,

откуда x1 = - 4, х2 = 6; у1 = 9, у2 = 4.

Таким образом, линии пересекаются в точках А (-4; 9) и В (6; 4). Построим чертеж (рис. 3).


Искомая площадь:
S = -46(7 - x/2 – ¼ (x - 2)2) dx =


6







- 4



= -46(7 - 1/2x – 1/4 x2 + x - 1) dx =

= -46(6 + 1/2 x - 1/4 x2) dx = (6x + 1/4 x2 – 1/12 x3) = = (36 + 9 – 18) – ( - 24 + 4 + 16/3) =

= 41 2/3 (кв. ед.)
Задание 9. Дан треугольник с вершинами А(-1,- 2), В(1, 0), С( -3,1). Найти:


  1. уравнение стороны АВ;

  2. уравнение медианы CD;

  3. уравнение высоты CH;

  4. угол между прямыми СD и СН.

Решение.
1) При составлении уравнения стороны АВ воспользуемся уравнением прямой, проходящей через 2 точки - М111) и М222):
x-x1x2-x1 = y-y1y2-y1

Подставив в данное уравнение координаты точек А и В, получим

x + 1 у + 2 x + 1 у + 2

- = ----- или ------- = --------- , х + 1 = у + 2 ,

1 + 1 0+2 2 2

y = x-1 - уравнение стороны АВ с угловым коэффициентом kAB=1

2) Точка В является серединой отрезка АВ, её координаты найдём по формулам:

xD=xA+xB2 = -1+12 = 0 , yD=yA+yB2 = -2+02 = -1

Итак, D(0,-1).

Уравнение прямой, проходящей через точки С и D имеет вид:

x + 3 у - 1 2

- = ------ или - —(x + 3) = y - 1,

0 + 3 -1 - 1 3
у = - 23 x - 1 - уравнение прямой СD, угловой коэффициент kCD = - 23

3) Поскольку прямая СH перпендикулярна прямой АB, угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением kCH = - 1kAB = -1

Для написания уравнения прямой СН воспользуемся уравнением: y – y0 = k(x-x0)

Полагая в этом уравнении х0 = -3, у0 =1, k=kсн = -1, получим уравнение:



у -1 = -1(х + 3) или y = -х - 2

уравнение высоты СН, угловой коэффициент kCH= -1.

4) Угол между прямыми СD и СH найдётся по формуле:

tg φ = kCD- kCH1+kCD* kCH = - 23 - (-1)1+-23(-1) = 131+23 = 15

∠φ = arctg 15 ≈ 120

Задания контрольной работы

Задание 1.

В задачах 1-5 найти сумму и произведение комплексных чисел:



  1. z1= 1 + 26 i и z2= 1 - 26i

  2. z1= 4 - 3i и z2= 2 + i

  3. z1= 0,2 + 2i и z2= -0,3 + 3i

  4. z1= 5 - 6i и z2= -10 +8i

  5. z1= 3 + i и z2= 2 - i3

В заданиях 6-10 найти разность и частное комплексных чисел:



  1. z1= 2 + 2i и z2= 1 - i

  2. z1= 25 + 6 i и z2= 25 - 6 i

  3. z1= 2i и z2= 1 +i

  4. z1= 4 - 5i и z2= -2 +7i

  5. z1 = 5 + 12i и z2 = 8 - 6i


Задание 2.

В задачах 11-30 проверить совместность системы уравнений и в случае ее совместности решить их:

а) методом Гаусса;

б) методом Крамера;



в) матричным методом


  1. x-3y+z=2,2x+y+3z=3,2x-y-z=8

  2. 2x-3y-5z=1,3x+y-2z=-4,x+2y+z=5

  3. 2x+3y-z=2,x-y+3z=-4,3x+5y+z=4

  4. 4x+3y-2z=-1,3x+y+z=3, x-2y-3z=8

  5. 5x-3-2y+z=-1,2x+y+2z=6, x-3y-z=-5

  6. 3x+3y+2z=-1,2x+y-z=3, x-2y-3z=4

  7. 2x-y+3z=1, x+2y+z=8, 4x-3y-2z=-1

  8. x-2y+z=4, 2x+y+3z=5, 3x+4y+z=-2

  9. 2x-y+3z=3, x+2y+z=2, x-3y+4z=-1

  10. 3x+y-2z=1, x-2y+3z=5, 2x+3y-z=-4

  11. x-3y-z=1,2x+y+z=-7,2x-y-3z=5

  12. 3x+y+2z=-4, x-2y-z=-1, 2x+3y+2z=0

  13. 2x+3y-z=2, x+2y+3z=0, x-y-2z=6

  14. 3x-2y+2z=3,2x+y-z=-5,5x-y+3z=4

  15. x+5y-z=-1,2x+y-2z=7,x-4y-z=0

  16. x+y-2z=1,2x+3y+z=0,x-2y-z=7

  17. 3x+2y-z=3,x-y+2z=-4,2x+2y+z=4

  18. 2x-3y+3z=0, x+y-2z=-7, x-2y+3z=3

  19. 2x – 3y+z=3,x+y-2z=4,3x-2y+6z=0

  20. x+ 2y-4z=0, 3x+y-3z=-1,2x-y+5z=3

  21. Задание 3.

  22. В задачах 31-50 найти указанные пределы:

  1. 3x2 – 5x -2 2x2 - 3x +1

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  2. x→ 2 2x2 – x – 6 x →∞ 3x2 + x + 4



  1. 2x2 + 15x +25 5x2 - 2x +1

  1. а) lim ------------------- b) lim ----------------

  2. x→ -5 5 – 4x – x2 x→∞ 2x2 + x – 3



  3. 4x2 + 7x +3 3 - 2x - x2

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ -1 2x2 + x – 1 x→ ∞ x2 + 4x + 1



  2. 2x2 - 9x + 9 3 x2 - 5x + 4

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ 3 x2 - 5x + 6 x→ ∞ x3 - x + 1



  2. 5x - x2 - 4 2x2 + x - 4

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →4 x2 - 2x – 8 x→∞ 3 + x - 4x2



  2. x2 - x - 6 3x2 - 7x + 3

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →3 x2 - 6x + 9 x→∞ 2x2 -5x – 3



  2. x2 - 4x + 4 5 - 2x - 3x2

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ -2 x2 - 4 x→∞ x2 + x + 3



  2. x2 - 4 2x3 - 2x + 1

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →-2 x2 + x - 2 x→ ∞ 3x2 + 4x + 2



  2. x2 - 7x + 10 3x2 + 5x + 4

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →5 x2 – 10x + 25 x →∞ 2x2 - x + 1



  2. x2 - 2x - 8 x2 - 7x + 1

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ -2 2x2 + 5x + 2 x → ∞ 3x2 + x + 3



  2. x2 - 5x - 14 5x3 - 7x2 + 3

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ 7 2x2 - 9x - 35 x → ∞ x3 + 2x + 2



  2. 4 x2 + 7x - 2 4x3 - 2x + 1

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ -2 3x2 + 8x + 4 x → ∞ 2x3 + 3x2 + 2



  2. 4x2 + 11x - 3 4 - 5x2 - 3x5

  1. а) lim ------------------ b) lim ----------------

  1. x →-3 x2 + 2x - 3 x→∞ 2x5 + 6x + 8



  2. x2 - 4x - 5 x - 2x2 + 5x4

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →-1 x2 - 2x - 3 x→∞ 2 + 3x2 + x4



  2. x2 - 5x + 6 2x3 + 7x2 - 2

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →2 x2 - 12x + 20 x→∞ 6x3 - 4x + 3



  2. 6 + x - x2 7x3 + 4x

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →3 x3 - 27 x→∞ x3 -3x + 2



  2. 3x2 - 6x - 45 2x3 - 4x2 + 3x

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →5 2x2 - 3x - 35 x→∞ 7x3 + 3x + 1



  2. x3 - 8 1 - 4x + x3

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x →2 x2 + x - 6 x→∞ x - 2x3



  2. 3x2 - 7x - 6 8x4 - 4x2 + 3

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ 3 2x2 - 7x + 3 x→ ∞ 2x4 + 1



  2. x2 - 16 2x3 + 7x - 2

  1. а) lim ---------------- b) lim ----------------

  1. x→ 4 x2 + x - 20 x→∞ 3x3 - x

  2. Задание 4. В задачах 51-70 исследовать функцию и построить ее график. Исследование предусматривает нахождение интервалов возрастания и убывания, точек экстремума, определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба, наличие асимптот.



  1. y = 3x4 – 5x3 + 2

  2. y = 14 x4 – 2x3 + 4x2 + 6

  3. y = 14 x4 – 2x3 + 4x2

  4. y = x3 – 1,5x2 – 6x + 4

  5. y = x4 – 8x3 + 16x2 + 3

  6. y = x3 + 6x2 + 9x – 12

  7. y = (x+2)3 – 27x + 3

  8. y = (x+1)3 – 3x + 4

  9. y = (x+2)3 – 3x + 1

  10. y = (x-2)3 – 3x – 14

  11. y = 13 x3 – 2x2

  12. y = 12 x3 + 3x2 -7

  13. y = 13 x3 – 3/2x2 - 4x + 10

  14. y = 14 x3 – 3/2x2 + 2

  15. y = 15 x3 –9/5x2 +3x + 3

  16. y = 13 x3 – x2 - 3x + 2

  17. y = 16 x3 – 3/2x2 + 8

  18. y = - 14 x3 + 9/8 x2 + 1

  19. y = 13 x3 + 1/2x2 - 2x + 1

  20. y = 13 x3 – 3x2 + 5x + 1

  1. Задание 5. В задачах 71-90 найти производную следующих функций:

  1. a) y = 3x7+ 3x7 - 4x6 + 4x

  1. y = (x3 + 4x) ∙ tg2 3x

  1. c) y = 7 x2+ 3x-45x3+ 4x2 + 3

  1. a) y = 3x6 + 5x - x7+ 7x4

  1. y = (x - 2)4 ∙ sin 6x

  2. y = (x+1)3x(2x+7)

  1. a) y = 5x3 - 8x2 + 4x+ 1x

  1. b) y = (2x – x2) ∙ tg4 x

  2. c) y = x3+1(x+4)8x2+ 2x+1

  1. a) y = 2x5 - 4x3 +6x+ 3x

  1. b) y = (2x – x2) ∙ tg4 x

  2. c) y = x4+3x3- 2x2+ 4x+3(x-1)



  1. a) y = 3x4 + 5x -2x-6x3

  1. b) y = (x2 + 3x) ∙ tg x

  2. c) y = x+42(4x+1)6x3+7x+4



  3. 76. a) y = 7x5 -2x5- 3x4 + 6x

  4. b) y = cos3 5x – x ∙ sin 3x

  5. c) y = (5x+3)(4x+2)9x2-7x-3

  6. 77. a) y = 4x+5x2 - 3x6 + 2x4

  7. b) y = cos 2x ∙ ctg (x2)

  8. c) y = 3x2-8x+5x+1(4x+5)



  9. 78. a) y = 8x2 + 6x3 -6x5 + 5x

  10. b) y = ( x5 – 4x4 + 3x3 – 2x2)∙cos 7x

  11. c) y = x-8x+8x+22



  12. 79. a) y = 5x2 - 3x4+ 4x3 - 3x

  13. b) y = (x – 7)6 ∙ ctg 3x

  14. c) y = 3x-1(x+2)(x+3)2



  15. 80 . a) y = 3x5-4x+x5+ 10x5

  16. b) y = (x + 5)3 ∙ sin2 x

  17. c) y = x+14x-1x-4x-1



  18. 81. a) y = 5x3-8x2+8x+ 1x

  19. b) y = (2x - 1)3 ∙ (2 - sin x)

  20. c) y = (6x-1)(x+2)(3x+1)2



  21. 82. a) y = 4x4 -3x- 5x2+6x2

  22. b) y = (3x - 9)2 ∙ cos x

  23. c) y = x-2(x+6)(7x+1)2



  24. 83. a) y =2x3 + 7x - 6x2+2x5

  25. b) y = (x2 – 9x + 7) ∙ sin 7x

  26. c) y = x+42(1-6x)(x+2)2

  27. 84. a) y =6x4- 5x-3x7 + 7x2

  28. b) y = sin 6x ∙ cos2 4x

  29. c) y = x+7(x-3)x2+4x+2



  30. 85. a) y = 8x3- 4x-7x4+x7

  31. b) y = (2x - 5)3 ∙ tg2 x

  32. c) y = x-1(x+2)3x2- 6x+8



  33. 86. a) y =4x6 - 3x + 4x5 + 3x4

  34. b) y = tg3x ∙sin 2x

  35. c) y = x+4(4x-1)6x2+2x+7



  36. 87. a) y = 9x5 + 4x - 7x4 +7x3

  37. b) y = (x4 + 3x2) ∙ sin 3x

  38. c) y = x+123x+1(x-4)



  39. 88. a) y = 8x- 4x2+73x4-7x

  40. b) y = (3x - 4)2 ∙ tg 3x

  41. c) y = 4x+76x+8(6x+1)



  42. 89. a) y = 3x2- 4x2+x6x5- 4x

  43. b) y = tg x ∙ cos 8x

  44. c) y = 2x+5(x-4)3x2+ 6x-7



  45. 90. a) y = 13x6-1x6+26x5+ 6x

  46. b) y = sin2 x – (4x + 1) ∙ cos 6x

  47. c) y = x-3x2x+3(4x-1)







  48. Задание 6. Решить примеры 91-100.

  1. Найти частные производные первого порядка от функции z = х3 + 2ху - 2у3

  2. Вычислить значения частных производных первого порядка функции

  1. z = ln (х2 – у2) при следующих значениях аргументов: х = 2; у = -1.

  1. Найти полный дифференциал функции z = Зх3 у2.

  2. Найти частные производные первого порядка от функции z = (5x3y2 + 1)3.

  3. Найти частные производные первого порядка от функции z = arcsin xy

  4. Найти полный дифференциал функции z = arcctg xy

  5. Вычислить значение полного дифференциала функции z = xx-y ,

  1. при х = 2, y = 1, dx = -1/3, dy = 1/2.

  1. Вычислить значение частных производных первого порядка функции

  1. z = х2+у2 при х = 4, у = -3.

  1. Найти частные производные первого порядка от функции z = хеу.

  2. Найти полный дифференциал функции z = sin2x cos2y.



  1. Задание 7. В задачах 101-110 найти неопределенные интегралы и проверить результат дифференцированием.

  2. X4

  1. а) ∫ --------- dx;

  1. 2 - х5

  2. b) ∫ х2 е 3x dx;



  1. a) ∫ cosxsin3 x dx



  1. b) ∫ (3 – 5x)e3x dx



  1. a) ∫ x(5x2+ 1)2 dx

  1. b) ∫ x cos dx



  1. a) ∫ e cos x sinx dx

  1. b) ∫ 3x2 lnx dx



  1. a) ∫ x2 sinx3 dx

  1. b) ∫ хеx dx;

  1. a) ∫ 3(x2+1)2 x dx

  1. b) ∫ arctgx dx;





  1. a) ∫ x2+2xx3+3x2+5 dx



  1. b) ∫ x sinx dx



  1. a) ∫ cosx3+sinx dx



  1. b) ∫ arcsin3x dx



  1. a) ∫ x dx1+x

  1. b) ∫ x lnx dx



  1. a) ∫ x1-x2 dx

  1. b) ∫ x cos3x dx



  2. Задание 8. В задачах 111-120 вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной данными линиями; сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.



  1. y = x2 и y = x

  2. у = (х - 2)2 и у = х;

  3. y = x3 и у = 2х;

  4. у = 2х – х2 и у = - х;

  5. y = 1/3 x3 и у = 3х;

  6. у = 1/3 (х - 2)2 и у = х + 4;

  7. у = 1/4 (х + 2)2 и у = х + 5;

  8. у = 1/4 (х + 6)2 и у = х + 9;

  9. у = 1/3 (х + 1)2 и у = х + 7;

  10. у = 1/3 (х - 1)2 и у = х + 5.



  1. Задание 9. В задачах 121-140 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:

  1. уравнение стороны АВ;

  2. уравнение медианы CD;

  3. уравнение высоты СН;

  4. угол между прямыми CD и СН.



  1. А(-2; 3), В(3; 2), С(1; - 4)

  2. А(-5; 2), В(2; 3), С(2; - 6)

  3. А(3; -2), В(1; 0), С(-5; 11)

  4. А(-12; 1), В(0; 2), С(5; 14)

  5. А(9; - 6), В(3; - 3), С(7; 10)

  6. А(0; 1), В(2; -3), С(-1; - 2)

  7. А(4; 1), В(-8; 3), С(0; 10)

  8. А(3; 6), В(14; - 4), С(- 4; 13)

  9. А(2; 5), В(-1; 2), С(-3; -1)

  10. А(-3; 3), В(2; -5), С(- 4; -1)

  11. А(-7; 2), В(-3; -8), С(5; -3)

  12. А(2; -10), В(5; -4), С(-2; -8)

  13. А(-11; 1), В(1; -2), С(5; - 6)

  14. А(12; -2), В(10; -2), С(3; - 1)

  15. А(-1; 5), В(1; -5), С(0; 2)

  16. А(2; -7), В(5; -5), С(2; 1)

  17. А(-8; -3), В(3; -5), С(8; 2)

  18. А(1; 0), В(2; -1), С(-1; -4)

  19. А(0; -5), В(6; -2), С(-5; -7)

  20. А(6; -12), В(-1; 8), С(15; -17)

  1. Рекомендуемая литература:



  1. Лисичкин В.П., Соловейчик И.Л. Математика – М.: Высш. шк., 1991.

  2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов (на базе средней школы). – М.: Высш. шк., 1980

  3. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. – Мн: Высш. шкл, 1993.

  4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М. Высш. шк., 2000.

  5. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш. шк., 1997.

  6. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 1999.

  7. Руководство к решению задач по высшей математике. Под редакцией Е.И. Гурского. – Мн. Высш. шк., 1989.

  8. Жевник Р.М., Карпук А.А. и др. Общий курс высшей математики. – Орша: АРФА, 1996.

  9. Гусак А.А. Высшая математика. – Мн.: ТетраСистемс, 2000.

  10. Тарасов Н.П. Курс высшей математики для техникумов. – М.: Наука, 1971.

  11. Зайцев И.А. Элементы высшей математики для техникумов. – М.: Наука, 1970.

  12. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. - Мн.: Высш. шк. 1998.





  1. Содержание:



  1. Общие методические указания…………………………………………………………………..3

  2. Программа курса «Основы высшей математики»……………………………………………....4

  3. Критерии оценки выполнения домашней контрольной работы…………………………..........4

  4. Порядок выполнения домашней контрольной работы…………………………………………5

  5. Решение задач типового варианта контрольной работы……………………………………….6

  6. Задания контрольной работы…………………………………………………………………...14

  7. Рекомендуемая литература……………………………………………………………………...21

скачать файл



Смотрите также:
Методические указания по выполнению домашней контрольной работы для учащихся-заочников учреждений
357.68kb.
Методические указания к выполнению лабораторной работы №8
122.73kb.
Исследование грейферных механизмов методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 190100 "Приборостроение"
323.47kb.
Учебно-методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу «Рентгеноструктурный анализ»
220.26kb.
Контрольная работа №2 (для специальности туризм и гостиничное хозяйство) Содержание контрольной работы №2
29.06kb.
Методические указания/ Сост.: Жулина Е. Г., Китов А. Г., Кальницкий Ф. Е. Н. Новгород: вгипу, 2011. 28 с
426.32kb.
Г. Н. Новгород, 2005 год Шум: Методические указания по выполнению практических работ по курсу "Экология"/нгту; Составители: А. Б. Елькин, О. В. Маслеева, Нижний Новгород, 2005г., 9с
212.22kb.
Составитель: М. М. Уткина ф философские проблемы естествознания: Методические указания к семинарским занятиям [Текст] / сост. М. М. Уткина. Красноярск: Сиб федер ун-т, 2011. 19 с
218.77kb.
Методические Указания По чтению текстов по специальности "Философия" Выпуск I ростов-на-Дону 2005 г
318.15kb.
1. 3 Выпускная квалификационная работа
542.19kb.
Методические указания для подготовки к тестированию по дисциплине «Русский язык и культура речи» для студентов очной формы обучения по направлению
402.47kb.
Методические рекомендации по работе с экзаменационными заданиями. Пособие помогает всесторонне и детально подготовиться к вступительному экзамену по иностранному языку
642.41kb.