Главная страница 1
скачать файл

Предел и непрерывность

функции одной переменной


3.1.1. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции при x стремящимся к x0, если для любого числа найдётся число (), и будет выполняться условие:

если , то .

(Символика: ).

Если точки графика Г функции неограниченно приближаются к единственной горизонтальной прямой , когда неограниченно близко приближается к точке (т.е. ), (см. Рис. 3.1), то это обстоятельство является геометрическим эквивалентом того, что функция при имеет предельное значение (предел) A (символика: ).



График функции ,


Рис. 3.1

Следует отметить, что в определении предельного значения (предела) функции при x стремящемся к x0 ничего не говорится о поведении функции в точке x0. В самой точке x0 функция может быть не определена, может быть , а может быть .

Если , то функция называется бесконечно малой при .

Промежуток называют - окрестностью точки x0 с выколотым центром. Используя это название, можно сказать так: , если для любого числа найдётся число , и будет выполняться условие: если , то .


3.1.2. Определение. , если для любой сходящейся к x0 последовательности последовательность сходится к А.
3.1.3. Докажем эквивалентность определений разделов 3.1.1 и 3.1.2

Пусть сначала в смысле первого определения и пусть (), тогда все , кроме их конечного числа удовлетворяют неравенству , где выбрано по в смысле первого определения, т.е. , т.е. из первого определения следует второе. Пусть теперь в смысле второго определения и допустим, что в смысле второго определения , т.е. для некоторого при сколь угодно малых (например, при ) нашлась последовательность , но при этом . Пришли к противоречию, следовательно, из второго определения следует первое.


3.1.4. Эквивалентность этих определений особенно удобна, ибо все доказанные ранее теоремы о свойствах пределов для последовательностей переносятся почти автоматически на новый случай. Следует лишь уточнить понятие ограниченности. Соответствующая теорема имеет следующую формулировку:

Если , то ограничена на некоторой  - окрестности точки x0 с выколотым центром.


3.2.1.Теорема. Пусть , ,

тогда, ,



,

.

3.2.2. Пусть - произвольная, сходящаяся к x0 последовательность значений аргументов функций и . Соответствующие последовательности и значений этих функций имеют пределы A и B. Но тогда, в силу теоремы раздела 2.13.2, последовательности , и имеют пределы, соответственно равные A +B, и . Согласно определению предела функции в точке (см. раздел 2.5.2) это означает, что



, ,

.
3.2.3. Теорема. Если , , и в некоторой окрестности имеет место

,

то

.

3.2.4. По определению предела функции в точке x0 для любой последовательности такой, что последовательность значений функции имеет предел равный А. Это означает, что для любого существует номер такой, что для любого номера выполняется . Аналогично, для последовательности существует номер такой, что для любого номера выполняется . Выбирая , получаем, что для всех выполняется . Из этой цепочки неравенств имеем для любого , что означает, что .

3.2.5. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции при x стремящимся к x0 справа (символика:), если для любого числа найдётся число () и будет выполняться условие: если , то .

Множество называют правой  - окрестностью точки x0. Аналогично определяется понятие предельного значения (предела) слева ().
3.2.6. Теорема. Функция при имеет предельное значение (предел) равный А тогда и только тогда, когда

,

3.3.1. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции при x стремящимся к бесконечности, если для любого числа найдётся число () и будет выполняться условие:

если , то .

(Символика: .)

Множество называется D-окрестностью бесконечности.
3.3.2. Определение. Число А называется предельным значением (пределом) функции при x стремящимся к плюс бесконечности, если для любого числа найдётся число D () и будет выполняться условие:

если , то .

(Символика: ).

Если точки графика Г функции с неограниченным ростом неограниченно приближаются к единственной горизонтальной прямой (см. Рис. 3.2), то это обстоятельство является геометрическим эквивалентом того, что функция при имеет предельное значение (предел), равное числу A (символика: ).




График функции ,

Рис.3.2


Множество называется D-окрестностью плюс бесконечности.

Аналогично определяется понятие предела при .


Упражнения.

Сформулируйте все теоремы о пределах применительно к случаям:

1) , 2), 3) , 4) , 5) .
3.4.1. Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) при , если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

(Символика: .)

Если выполняется , то пишут .

Если выполняется , то пишут .


3.4.2. Теорема. Пусть и при .

Тогда - бесконечно большая функция при .


3.4.3. Пусть произвольное число . Так как - бесконечно малая функция при , то для числа существует число такое, что для всех x таких, что выполняется неравенство , но тогда для тех же x выполнятся неравенство . Т.е. - бесконечно большая функция при .
3.4.4.Теорема. Пусть - бесконечно большая функция при и при .

Тогда - бесконечно малая функция при .

(Эта теорема доказывается аналогично теореме раздела 3.8.2).
3.4.5. Функция называется неограниченной при , если для любого числа и любой δ-окрестности точки можно указать точку x из этой окрестности такую, что .
3.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной в точке , если .

Последнее условие можно записать и так:



.

Эта запись означает, что для непрерывных функций можно менять местами знак предела и знак функции

Или так: . Или снова, как в начале.

.

Обозначим . Тогда и = и последняя форма записи примет вид



.

Выражение под знаком предела представляет собой приращение функции точке , вызванное приращением аргумента x в точке , обозначаемое обычно как . В итоге получаем следующую форму записи условия непрерывности функции в точке



,

которую называют «рабочим определением» непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке слева, если .

Функция называется непрерывной в точке справа, если .


3.5.2. Пример. . Эта функция непрерывна для любого . С помощью теорем о свойствах пределов, мы сразу получаем: любая рациональная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена, т.е. функция вида .
УПРАЖНЕНИЯ.

  1. Сформулируйте, что означает, что в некоторой точке функция не является непрерывной (на языке ; с помощью понятия сходящейся последовательности).

  2. Приведите пример функции, не являющейся непрерывной (можно говорить: является разрывной) для любого значения аргумента.

3.6.1. В школьном учебнике доказывается (на высоком уровне строгости), что (первый замечательный предел). Из наглядных геометрических соображений сразу получается, что . Заметим, что из левого неравенства следует также, что , т.е. что функция непрерывна в нуле. Отсюда уж совсем нетрудно доказать непрерывность всех тригонометрических функций во всех точках, где они определены. В самом деле, при как произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию .


3.6.2. (2-й замечательный предел). Как нам уже известно

,

где пробегает натуральные числа. Можно показать, что . Более того .


УПРАЖНЕНИЯ.

  1. Докажите непрерывность функций , .

  2. Докажите, что при .

3.7.1. ТЕОРЕМА (о непрерывности сложной функции).

Если функция непрерывна в точке и , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
3.7.2. Справедливость этого утверждения немедленно следует из определения непрерывности, записанного в виде:

.
3.8.1. ТЕОРЕМА. Функция непрерывна в каждой точке ().
3.8.2. Если считать обоснованным, что функция определена для любого и является строго монотонной (строго убывающей при , строго возрастающей при ), то доказательство не составляет труда.

При имеем:





, если ,



, если ,

т.е. при имеем , что означает, что функция непрерывна при .

При всё сводится к предыдущему:

при .

При функция постоянна при всех , следовательно, непрерывна.


3.9.1. ТЕОРЕМА (о сосуществовании и непрерывности обратной функции).

Пусть непрерывная функция строго убывает (строго возрастает) в некоторой δ - окрестности точки , . Тогда в некоторой ε - окрестности точки существует обратная функция , которая строго убывает (строго возрастает) и непрерывна в ε - окрестности точки .


3.9.2. Докажем здесь только непрерывность обратной функции в точке .

Возьмём , точка y расположена между точками и , следовательно, если , то , где .


3.10.1. Итак, любые позволительные арифметические действия над непрерывными функциями вновь приводят к непрерывным функциям. Образование из них сложных и обратных функций не портит непрерывности. Поэтому, с некоторой долей ответственности, мы можем утверждать, что все элементарные функции при всех допустимых значениях аргумента непрерывны.
УПРАЖНЕНИЕ.

Докажите, что при (другая форма второго замечательного предела).


3.11.1. Вычисление пределов сильно упрощается, если использовать понятие эквивалентных бесконечно малых. Понятие эквивалентности удобно обобщить на случай произвольных функций.

Определение. Функции и называются эквивалентными при , если (вместо можно писать , , , , ).

Используемое обозначение f ~ g.

Эквивалентность обладает следующими свойствами



  1. f ~ f,

  2. f ~ g при g ~ f при ,

  3. f ~ g при , g~ h при f ~ h при .

Необходимо помнить следующий список эквивалентных бесконечно малых:



~ при ; (1)

~ при ; (2)

~ при ; (3)

~ при ; (4)

~ при ; (5)

~ при ; (6)

~ при ; (7)

~ p при ; (8)

~ при ; (9)

~ при . (10)
Здесь и могут быть не независимыми переменными, а функциями и стремящимися соответственно к нулю и единице при некотором поведении x. Так, например,

~ при ,

~ при .

Эквивалентность (1) является иной формой записи первого замечательного предела. Эквивалентности (2), (3), (6) и (7) можно доказать непосредственно. Эквивалентность (4) получается из (1) с учётом свойства 2) эквивалентностей:



~ .

Аналогично (5) и (7) получаются из (2) и (6). В самом деле



~ ,

~ .

Эквивалентность (8) доказывается последовательным применением (7) и (6):



~ ,

а (9) и (10) получаются из (6) и (8) заменой .

3.11.2. Теорема. При вычислении пределов в произведении и отношении можно менять функции на эквивалентные. А именно, если ~ , то, либо оба предела не существуют одновременно, и , либо оба эти предела не существуют одновременно.
Докажем первое равенство. Пусть один из пределов, скажем, существует. Тогда



.

3.11.3. Пусть (- число или символ , или ). Будем рассматривать поведение различных б.м. функций (так будем сокращать термин бесконечно малая).


ОПРЕДЕЛЕНИЯ. и называются эквивалентными б.м. функциями при , если (при ).

будем называть б.м. более высокого порядка чем б.м. функция , если (при ).
3.11.4. Если и эквивалентные б.м. функции, то есть б.м. функция более высокого порядка чем и чем .

Если есть б.м. функция более высокого порядка чем б.м. функция , то , где - б.м. функция. Следовательно если и эквивалентны, то == , где и - б.м. функции.


3.11.5. ПРИМЕР. , где и - б.м. функции при .
3.11.6. Приведём список широко используемых эквивалентных б.м. функций (при ):

, , , , , , , .
3.12.1. ТЕОРЕМА (об устойчивости знака непрерывной функции).

Если функция непрерывна в точке и , то найдётся δ - окрестность , в которой для всех x .


3.12.2. Допустим противное, т.е., что в сколь угодно малой δ - окрестности (например, при , n - любое натуральное число) есть точка такая, что . Но тогда найдётся последовательность , при этом , т.е. , что противоречит условию .
3.13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала и , .
3.13.2. ТЕОРЕМА. Если функция непрерывна в каждой точке отрезка ,

  1. тогда на отрезке существуют числа и такие, что и для всех x из отрезка (теорема Вейерштрасса),

  2. тогда для любого числа существует такое, что (теорема Больцано - Коши).

Теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши относятся к числу основных теорем математического анализа. Доказательства их здесь не приводятся, ибо не являются обязательными.


3.14.1. Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если функция в точке не является непрерывной.
3.14.2. Определение. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные односторонние пределы, но в этой точке функция не является непрерывной.

а) Односторонние пределы равны между собой, т.е. существует предел функции в точке . Этот предел либо не равен значению функции в точке либо функция не определена точке . В обоих случаях, если принять полученное предельное значение за значение функции в точке , то она станет непрерывной в этой точке. Таким образом, разрыв в точке устранён, а точка называется точкой устранимого разрыва.

б) Односторонние пределы не равны друг другу: . Точка называется в этом случае точкой неустранимого разрыва. Если обозначить и, то величина называется скачком функции в точке .

3.14.3. Если не существует или равен бесконечности хотя бы один из пределов , , то говорят, что график функции (функция ) в точке имеет разрыв второго рода. Сама точка называется точкой разрыва второго рода функции .

Упражнения.

Найти точки разрыва функций и определить их характер:



1. . 2. . 3.. 4.. 5.. 6. .





скачать файл



Смотрите также:
Г функции неограниченно приближаются к единственной горизонтальной прямой, когда неограниченно близко приближается к точке (т е. ),
149.55kb.
Программа «Весело шагать…» с 1 года до 3 лет: Услуги базовая
66.66kb.
Прямая имеющая две общие точки с кривой называется секущей. При сближении точек секущая стремится к своему предельному положению: это предельное положение и есть касательная в точке
9.59kb.
«Линейная функция»
27.39kb.
Задачи по теме «Стереометрия»
22.78kb.
Эту книгу я писал с единственной мыслью, с единственной целью обратить внимание русского образованного общества на гибнущих меньших братьев. Народ спился, одичал, озлобился, не умеет и не хочет трудиться
3711.69kb.
Функция. Понятие функции
282.37kb.
Определение сторон горизонта по солнцу и часам
9.28kb.
1. Множества и действия над ними. Свойства множеств. Законы алгебры множеств
398.58kb.
Первый модуль
27.28kb.
Элементарные функции и графики. 01. Элементарные функции
79.06kb.
1. 1 Укладки при выполнении рентгеновских снимков черепа (обзорных) в прямой и боковой проекциях
149.72kb.