Главная страница 1страница 2
скачать файл

Элективный курс в 9 классе

«Красота методов решения математических задач».
Пояснительная записка.

Программа рассчитана на 17 часов.

Основная цель курса – показать ученикам методы, приемы и примеры решения задач и заданий, редко применяемые в школьном курсе математики, но часто встречающиеся на вступительных экзаменах в вузы, на олимпиадах. Обратить внимание на те методы, которые используются не только в алгебре, но и геометрии, физике, черчении.

Дополнительная цель – показать красоту математики, повысить интерес к предмету, настроить учащихся на выбор математического профиля в 10 классе.

Сложилась уже определенная схема проведения уроков. На каждом занятии приводятся цитаты из высказываний известных ученых по вопросам, которые изучаются, рассматриваются исторические факты, относящиеся к теме, ученики знакомятся с именами великих математиков, физиков, философов, внёсших большой вклад в развитие науки. В конце занятия ученики получают для рассмотрения дома вопрос исторического или занимательного характера. Ответ на него заслушивают все вместе на следующем занятии и оформляют в виде краткой справки или небольшого доклада. Материал ребята выбирают по справочникам, энциклопедиям или сайтам из Интернета. Уровень заданий, используемый в курсе, различный: от элементарных, занимательных, старинных до олимпиадных, повышенной сложности, заданий для абитуриентов.

Программа курса.

Методы оперирования числами. Фигурные числа. Перевод периодических дробей в обыкновенные. Задачи с числами. Комплексные числа и простейшие действия над ними.

Методы решения уравнений. Методы замены или подстановки. Метод разложения на множители. Теорема Виета. Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения. Замена в системах уравнений. Простейшие уравнения с параметрами и модулями. Текстовые задачи.

Методы решения неравенств. Обобщенный метод интервалов в неравенствах и системах неравенств. Замена переменной в неравенствах. Простейшие неравенства с параметрами и модулями.

Методы решения геометрических задач. Применение подобия треугольников. Многоликая теорема Пифагора. Формула Герона для иррациональных длин. Алгебраический метод в геометрии.

Тематическое планирование.

п/п


Тема

Кол-во часов


1

Методы оперирования числами.

2

2

Комплексные числа.

1

3

Метод разложения на множители. Теорема Виета. Уравнения высших степеней. Системы уравнений.

4

4

Текстовые задачи.

2

5

Простейшие уравнения с параметрами и модулями.

1

6

Обобщенный метод интервалов в неравенствах и системах неравенств.

2

7

Замена переменной в неравенствах.

1

8

Простейшие неравенства с параметрами и модулями.

1

9

Алгебраический метод в геометрии.

1

10

Теорема Пифагора.

1

11

Обобщающий урок

1


Занятие 1.

Перевод периодических дробей в обыкновенные. Фигурные числа.

«Число есть начало всех вещей, воспринимаемых рассудком»

Немецкий философ и математик

Николай Кузанский (1401 - 1464)

Историческая справка. Для нас совершенно естественно повсеместное применение чисел. Возможность все пересчитать считается закономерной и существующей вечно, поэтому абсолютно не возникает мысли о том, как можно обходиться без счета. А ведь без чисел наступил бы, скорее всего хаос. Мы совершенно свободно оперируем числами, не задумываясь о том сложном пути, которое прошло общество в применении счета.

На первых порах расширение понятия числа происходило медленно. У многих народов число 40 достаточно долго было пределом счета, поэтому выражение «сорок сороков» в старину означало число, которое даже невозможно представить.

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков – ста. Затем появляются тысяча, десять тысяч (тьма) и миллион. В современной математике граница счета – бесконечность, которая не означает какое-либо конкретное число.

Столь же сложно происходило расширение понятия числа «вглубь»: сначала появились натуральные числа, затем целые отрицательные, потом дробные и т.д. сегодня мы обсудим лишь одно небольшое правило о дробях, которое вы не рассматриваете в школьном курсе математики.

Вспомним способы перевода обыкновенных дробей в десятичные:


  • Разделить числитель на знаменатель;

  • По основному свойству дроби умножить числитель и знаменатель дроби на такой множитель, чтобы в знаменателе получилось число, которое является делителем или кратным 10.

Примеры: 1) : 5 = 0,2 или = 0,2.

2) 0,(9). 3) 0,(285714). 4) 0,1(3).

Во втором и третьем примерах получились чисто периодические дроби, а в третьем – смешанная периодическая дробь. Также не сложен перевод десятичных дробей в обыкновенные: записываем дробь с помощью дробной черты так, как говорим в слух.

Примеры: 1) 3,3 = . 2) 4,5 = .

Но таким образом нельзя перевести периодическую дробь в обыкновенную. Для такого перевода необходимо знать следующее правило:



Чтобы периодическую дробь представить в виде обыкновенной, необходимо:

  • Из числа, записанного до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и эта разность – числитель искомой дроби;

  • В знаменатель записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и дописать столько нулей, сколько цифр между целой частью и периодом.

Примеры: 1) 2,(5) = . 2) 1,32(7) = .

3) 3,2(54) =

Теперь разберем более сложные примеры, связанные с периодическими дробями, которые предлагались в разные годы на вступительных экзаменах в вузы.

Примеры: 1)

Решение: 0, 83333…= 0,8(3) = ; 0,4(6) = ;

0,41(6) = ;

; : ;

1,125 + 1,75 - ; : 0,59 = : ;



. Ответ:
2)

Решение: 2,708333… = 2,708(3) = ;

0,7(6) = ; 0,(36) = ;

; : 2,5 = ;

1,3 + ; ;



2 Ответ: 1

Ещё в древнем мире ученые придумывали различные игры с числами. Например, Пифагор изображал числа точками, затем строил из точек различные фигуры и в результате пришел к понятию фигурных чисел. Вот так он представлял фигурные числа.



Если начать с левой угловой точки и рассмотреть получившиеся треугольники, то количество точек, принадлежащих каждому из треугольников, образует последовательность чисел:1; 3; 6; 10; 15 и т.д. Возникает вопрос: как получается эта последовательность? Так как 3=1 +2; 6 = 1 + 2 + 3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4; 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 и т.д., то видим, что каждое число есть сумма последовательных натуральных чисел.

Аналогично получаются и квадратные числа.

Из рисунка видно, что квадратные числа: 1; 4; 9; 16; 25 и т.д. Это квадраты последовательных натуральных нечетных чисел, так как 4 = 1 + 3; 9 = 1 + 3 + 5;

16 = 1 + 3 + 5 + 7 и т.д.

Учащимся предлагается дома по желанию нарисовать пятиугольные, шестиугольные числа и попробовать найти соответствующие закономерности.



Вопрос на дом. Какие числа называют вавилонскими?

Ответ: Вавилонскими называют тройки натуральных чисел, которые являются корнями уравнения х2 + у2 = 2 z2. Например, такие тройки, как 1; 5 и 7 или 7; 13 и 17 и т.д.


Занятие 2

Треугольник Паскаля. Задачи с целыми числами.

«Числа не управляют миром, но показывают,

как управляется мир»

Немецкий поэт и мыслитель И.В. Гёте (1749 - 1832)

Историческая справка. В современном русском языке названия всех чисел до миллиарда, составляются всего из 39 слов, обозначающих числа 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, миллион и миллиард. В основе словообразования всех чисел лежит число десять, поэтому наша система счёта называется десятичной.

Рассказывая о числах, не оставляю без внимания очень интересную конструкцию из чисел – «треугольник Паскаля». Хотя это числовая таблица была частично известна в Индии ещё во втором веке до нашей эры, фигурировала затем в работах китайских и, позднее, среднеазиатских и европейских математиков, все-таки наибольшую известность ей принесли работы французского математика семнадцатого века Блеза Паскаля.

Рассмотрим принцип составления и систему применения этого треугольника из чисел. По боковым сторонам этого равнобедренного треугольника стоят единицы. Вниз он может продолжаться до бесконечности. Внутри треугольника числа в каждой последующей строке располагаются между числами предыдущей строки и равны их сумме.

1

1 1



1 2 1

1 3 3 1


1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

и т. д.

Этот «арифметический треугольник » применяется для возведения в любую степень двучлена (бинома) (a + b), поскольку в нём заключены биноминальные коэффициенты. Например, третья строка треугольника позволяет записать формулу квадрата двучлена: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2.



Первое слагаемое содержит переменную а в той степени, в которую возводится вся сумма, затем степень а уменьшается на единицу, а степень b, наоборот, увеличивается на единицу. Продолжая таким образом, мы приходим к последнему слагаемому, которое содержит b в наибольшей степени. Например, по последней из записанных строк получим выражение для возведения бинома в седьмую степень:

(a + b)7 = a7 +7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.

Умение построить и применить этот числовой треугольник позволит вспомнить формулы возведения суммы и разности двух выражений в любую степень. Для возведения в степень разности выражений необходимо чередовать знаки + и -.

В дальнейшем вы ещё встретитесь с этой замечательной конструкцией из чисел не только в школе, но и в курсе высшей математики в университете.

Довольно часто мы встречаемся с числами и в текстовых задачах. Решим одну из них.



Задача. Произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 3024. найти эти числа.

Решение: Пусть наименьшее из чисел – х, тогда остальные три последовательных натуральных числа будут равны х + 1, х + +2, х + 3.Учитывая условие задачи, составим уравнение: х · (х + 1) · (х + 2) · (х + 30 = 3024.

Если умножить все четыре сомножителя, то получим уравнение четвертого порядка, которое вы не сможете решить. Поэтому перемножим их попарно таким образом, чтобы два из полученных выражения имели одинаковые слагаемые. Для этого перемножим первый множитель с последним и два средних:



2+3х) · (х2+3х+2) = 3024

Выполнив замену у=х2+3х, получим следующее уравнение:



у·(у+2)=3024,

у2 +2у-3024=0,

D=4 + 4·3024=12100,

у1= , у2 =

Возвратимся к первоначальной переменной х:



х2 +3х =54 или х2 +3х =-56

х2 +3х -54 = 0 х2 +3х +56 =0

D= 9 + 216=225 D= 9 – 224 <0

х1=6, х2= -9 нет корней

Так как по условию искомые числа должны быть натуральными, то из полученных корней выбираем лишь 6. итак, установлены четыре числа: 6, 7, 8, 9.

Как уже было сказано, много времени с числами посвящали древние математики. Рассмотрим задачу, которую включил в свою «Арифметику» великий древнегреческий учёный Диофант, и предложенное им решение.

Задача: Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96.

Решение Диофанта. Из условия задачи ясно, что искомые числа не равны между собой, иначе их произведение было бы не 96, а 100. Значит, одно из них меньше половины 20, то есть (10-х), а другое – больше, поэтому (10+х). Тогда получим уравнение: (10-х)· (10+х)=96



100-х2 =96

х2=4

х=2

Во времена Диофанта отрицательными числами еще не пользовались, решать полные квадратные уравнения с помощью формул так же не могли, поэтому был получен только один корень. Найдены числа 8 и 12. Ответ: 8 и 12.

Современное решение предлагают ученики с помощью системы уравнений. Получают пары чисел (8; 12) и (12; 8) Ответ: 8; 12

Вопрос на дом: Какое число называли лудольфовым?

Ответ: Лудольфово число – приближенное значение числа «пи» с 35 верными десятичными знаками, найденное голландцем Лудольфом Ван Цейленом (опубликовано посмертно в 1615 году). Для поколения людей 17 века, не пользовавшихся почти никакими вычислительными аппаратами, такое значение «пи» было сверхточным, поэтому и было названо по имени великого вычислителя. Придавая огромное значение своей работе, Лудольф завещал высечь на своём надгробном камне найденное им значение числа «пи».
Занятие 3.

Комплексные числа.
Историческая справка. В 1545 году итальянский ученый Кардано столкнулся с проблемой решения некоторых систем уравнений и предложил ввести в рассмотрение числа, обладающие свойством: = . Он назвал их «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался по возможности не употреблять. Долгое время эти числа считались не существующими, воображаемыми. Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц – «уродом из мира идей».

С помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Мнимым числам не было места и на координатной оси.

Но техника операций над мнимыми числами постепенно развивалась. В начале 19 века сразу несколько математиков (Вессель, Арган, Гаусс) предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М(а;b) на координатной плоскости, что позволило расширить область применения этих чисел. А названы они комплексными, потому что содержат действительные числа а и мнимые bi в комплексе.

Мы с вами рассмотрим лишь самые простые формулы, понятия и операции из теории комплексных чисел, учитывая, что i2 = -1.

Если b= 0, то z = a - действительное число; если же а = 0, то z =bi – число мнимое.

Числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называются равными, если а12 и b1 = b2, то есть равны их действительные и мнимые части.

Числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 - b2i называются сопряженными, их произведение равно a2 + b2, то есть (a1 + b1i) · ( a2 - b2i) = a2 + b2.

Суммой чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется число z1 + z2 = =(а1 + а2) + i(b1 +b2).

Разностью этих чисел называется число z1 - z2 = =(а1 - а2) + i(b1 - b2).

Произведение таких чисел выполняется по правилу умножения двух многочленов z1 · z2 = (a1 + b1i) · ( a2 + b2i) = а1 а2+ ib1а2 + ia1b2 + i2b1b2 =(a1a2b1b2) + i(b1a2 +a1b2).

Деление комплексных чисел основано на применении основного свойства дроби: если числитель и знаменатель разделить или умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. При этом умножают на число, сопряженное знаменателю дроби:

Примеры:


1) (7 – 3i) + (9i – 10) = (7 - 10) + i(-3 + 9) = -3 + 6i

2) (4 -5i) – (5 – 2i)= (4 - 5) + i(-5+ 2) = -1 – 3i

3) (2 + 3i)(3 – 2i) = 6 + 9i -4i -6i2 = 12 + 5i

4)

5)

6)



Пример 6 можно решить по-другому: умножить числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое знаменателю, а затем сложить полученные дроби. Попробуйте решить пример этим способом.

При решении квадратного уравнения у нас получался отрицательный дискриминант и мы с вами говорили, что уравнение не имеет корней. С введением комплексных чисел стало возможным решать такие уравнения, например:

Решить уравнение х2 + 4х + 29 = 0



D = 16 – 116 = -100 = 100i2

x1 = x2 =

Ответ: -2 – 5i, -2 + 5i



Вопрос на дом: Когда тысячу тысяч стали называть миллионом?

Ответ: Слово «миллион» (буквально «тысячища») появилось в Италии в 14 столетии и обозначало первоначально 10 бочонков золота. В печати это слово появилось в сочинениях итальянского математика Луки Пачоли (1445-1514).

Занятие 4.

Методы решения уравнений.

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

Современный польский математик С. Коваль.

Историческая справка. Обратимся лишь к одному небольшому эпизоду, связанному с историей алгебраических уравнений, а точнее к уравнению третьей степени вида х3 + px = q.

В 16 веке в Италии были широко распространены математические поединки между учеными. В городе Болонья при большом стечении народа противники предлагали друг другу для решения определенное количество заданий по алгебре, которая в то время была наиболее популярна и называлась «Великим искусством», в то время как арифметика – «Малым искусством». Победитель такого диспута, решивший наибольшее число задач, как правило, награждался денежным призом, всеобщей славой и возможностью занять университетскую кафедру или другую должность.

Когда профессор математики Болонского университета Сципион дель-Ферро, одним из первых нашедший формулу для решения указанного уравнения, неожиданно скончался, тайну открытия знал лишь его ученик Фиоре, не очень способный математик. Тем не менее он решил воспользоваться секретом т вызвал на поединок одного из виднейших математиков Италии Николо Фонтана (Тарталья).

Последний понял, что его противник владеет формулой для решения уравнения третьей степени, и за 8 дней до диспута сам вывел нужную формулу. Благодаря своему усердию, он решил все предложенные ему задачи, в то время как Фиоре не смог решить ни одного задания. По иронии судьбы формула, о которой идет речь, носит имя другого известного математика – Кардано. Тарталья, решивший сразу не раскрывать своего секрета, настолько затянул время, что уже третий ученый частично сам, а частью из записей дель-Ферро смог вывести формулу решения уравнения, чем и увековечил свое имя, хотя и не совсем честным путем.

Рассмотреть все методы и формулы на одном занятии невозможно, поэтому разберем всего два метода: метод замены переменной, применённый к решению уравнений высших степеней и метод разложения на множители.

Примеры:


  1. х8 – 17х4 + 16 = 0.

Введем замену переменной х4 = у, получим уравнение у2 -17у + 16 = 0, корни которого у = 1 и у = 16. Тогда, возвращаясь к переменной х, имеем два уравнения х2 = 1 и х2 = 16.

Решая их, получаем корни исходного уравнения -1; 1; -4; 4.



Ответ: -1; 1; -4; 4.

  1. 2 + 5х)2 - 2(х2 + 5х) – 24 = 0

Пусть х2 + 5х = у, тогда у2 – 2у – 24 = 0. Откуда у = 6 или у = -4. Возвращаясь к х, получим: х2 + 5х = 6 или х2 + 5х = -4,

х2 + 5х - 6 = 0 или х2 + 5х + 4 = 0,

х1 =-6, х2 = 1 или х3 = -1, х4 = -4.

Ответ: -6; -4; -1; 1

  1. 2 + х + 1)(х2 + х + 2) = 12.

Обозначим х2 + х + 1 = у, тогда х2 + х + 2 = у + 1. значит, уравнение примет вид:

у(у + 1) = 12,

у2 + у – 12 = 0,

у1 = -4, у2 = 3. Возвратимся к переменной х:

х2 + х + 1 = -4 или х2 + х + 1 = 3,

х2 + х + 5 = 0 или х2 + х – 2 = 0,

D = 1 – 20 = -19 < 0 D = 1 + 8 = 9

х1 = , х2 = х3 = -2, х4 = 1

Ответ: -2; 1; ;

Теперь рассмотрим способ разложения на множители. Здесь мы применим правило: произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Необходимо вспомнить, что способов разложения на множители мы изучили всего три: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения.



  1. х3 – 4х2 – х + 4 = 0

Сгруппируем слагаемые, ориентируясь на коэффициенты:

3 - х) + (-4х2 + 4) = 0,

х(х2 - 1) – 4(х2 - 1) = 0,

2 - 1)(х - 4) = 0,

х2 – 1 = 0 или х – 4 = 0,

х = 1, х = -1, х = 4

Ответ: -1; 1; 4.

  1. х4 + х3 – 12х2 = 0

Вынесем за скобки общий множитель х2 и получим:

х22 + х - 12) = 0

х2 = 0 или х2 + х – 12 = 0,

х = 0 или х = -4, или х = 3

Ответ: -4; 0; 3.

  1. х4 – 3х3 + 3х2 – х = 0.

Сгруппировав первое слагаемое с последним, а второе с третьим и разложив двучлен в первой скобке по формуле разности кубов, получим:

4 - х) + (-3х3 + 3х2) = 0,

х(х3 - 1) – 3х2(х - 1) = 0,

х(х - 1)(х2 + х + 1) – 3х2(х - 1) = 0,

х(х - 1)(х2 + х + 1 – 3х) = 0,

х(х - 1)(х2 - 2х + 1) = 0,

х=0 или х = 1 или (х - 1)2 = 0.

Ввиду того, что корень х = 1 повторился три раза, его называют троекратным корнем. Таким же образом в квадратном уравнении с дискриминантом, равным нулю, грамотнее сказать, что уравнение имеет два равных корня или один двукратный корень, а не один корень.



Ответ: 0; 1.

Вопрос на дом: Какой смысл имел в математике символ :: ?

Ответ: Английский математик Оутред (1574-1660) выражал равенство записью a,b :: c,d. Таким образом, это – знак пропорции. Этот знак применялся вплодь до 19 века.

Занятие 5.

Теорема Виета.

«Математические теоремы …сводятся к небольшому числу простых истин».

Французский философ и математик

Ж.Л. Даламбер



Историческая справка. Формулировка известной нам теоремы Виета во времена её открытия была совершенно не похожа на современную. Вот так формулировал её сам Франсуа Виет (французский математик 16 века) в 1591 году: «Если B + D, умноженное на А минус А2, равно BD, то А равно В и равно D». Поскольку А у Виета означало неизвестное, а В и D – коэффициенты при неизвестной, то в современной алгебре эта фраза выглядит следующим образом: Если (a + b)х – х2 = ab или х2 – (a + b)x + ab = 0, то х1 = а, х2 = b.

Теорема Виета может быть обобщена для уравнения любой степени.

Пусть многочлен Р(х) = аnxn + an-1xn-1 + … a1x +a0 имеет корни х1, х2, …, хn, тогда

х1 + х2 + … +хn = –

x1x2 + x1x3 + … xn-1xn =

x1x2x3 + x1x2x4 + … + xn-2xn-1x1 =

………………………..............

x1x2x3x4…xn = (– 1)n
Например, для уравнения получаем следующую систему:

х1 + х2 + х3 = а

х1х2 + х1х2 + х2х3 = b

х1х2х3 = – с
К сожалению, заданиям на применение такой замечательной теоремы в учебнике удалено мало внимания, в то время, как свободное владение этой теоремой позволяет сэкономить достаточно много времени для решения более интересных задач. Особенно это наглядно в старших классах, когда различные виды уравнений после замены приводятся к квадратным (как правил, приведенным) и основное внимание должно быть сосредоточено на решении новых видов уравнений, а в квадратные в большинстве случаев решаются устно.

Рассмотрим примеры, которые предлагались на вступительных экзаменах в вузы.

Примеры.


  1. не решая уравнения х2 + 13х + 45 = 0, найти сумму квадратов его корней.

Решение: Поскольку х1·х2 = 45, х1 + х2 = –13, то х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1х2 = (–13)2 – 2 · 45 =169 – 90 = 79. Задание можно было бы считать выполненным, но здесь допущена ошибка не найден дискриминант. Так как D = 169 – 180 = – 11, то данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: во множестве действительных чисел задание не разрешимо.

Предложенный пример наглядно демонстрирует, насколько внимательно нужно относиться к условию задачи, чтобы не упустить важных деталей. В заданиях для поступающих в вузы это внимание должно быть особенно обострённым.


  1. Не решая уравнения 2 – х – 4 = 0, найти значения следующих выражений:

а) ; б) х12 + х22; в) ; г)

Решение: Так как D = 65, то преобразуем данное уравнение к приведенному х2 1 = 0. Тогда х1·х2 = –1, а х1 + х2 =. Значит, решение примет вид:

а) = =

б) х12 + х22= (х1 + х2)2 –2х1х2 = ;

в) = =

г) = .

3) Найти наибольшее значение параметра b в уравнении х2 + bх + 12 = 0, при котором разность корней уравнения равна 1.

Решение: По теореме Виета с учетом условия задачи и ограничения b2 – 48 0 получаем систему уравнений:



х1 + х2 = -b,

х1·х2 = 12,

х1 -·х2 = 1;

Сложим и вычтем первое и третье уравнения. Получим:



1 = 1 – , х1 =

2 = – b – 1, х2=

х1·х2 = 12, 1 – b2 = –48;




х1 = 4,

х2 =3,

b = 7;

х1 = –3,

х2 = 4,

b = 7;
Из двух полученных значений b наибольшим является 7.

Задания с параметрами должны присутствовать практически на каждом занятии, потому что их очень мало в действующих учебниках по алгебре и достаточно много в экзаменационных заданиях всех видов.



Вопрос на дом. Древний учёный Эпикур родился в 341 году до н.э. В 1959 году отмечали 2300 лет со дня его рождения. Правильно ли праздновали его юбилей?

Ответ. Неправильно, так как в 1959 году со дня рождения прошло 2299 лет.
Занятие 6.

Методы решения уравнений высших степеней.

Историческая справка. Развитие математики до определённого времени происходило из-за практических потребностей людей. Дальнейшие открытия были сделаны математиками в связи с необходимостью разрешения внутренних проблем. К таким сложным вопросам в математике много веков относилась идея решения уравнения любой степени через его коэффициенты. В 16 веке усилиями нескольких итальянских математиков были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвёртой степеней определённого вида. В 1545 году в книге Кардана «Великое искусство» было приведено решение уравнения вида х3 + рх + g = 0.

Эти открытия позволили учёным сделать предположение, что количество корней любого уравнения равно его степени, если считать все корни (действительные и комплексные), учитывая их кратность. Этому вопросу посвятил много времени голландский математик Альберт Жирар (начало XVII века). Примерно через 100 лет шотландец Колин Маклорен и великий математик Леонард Эйлер (по происхождению швейцарец, прожил более 30 лет в России) сформулировали основную теорему алгебры: «Уравнение n –й степени с комплексными коэффициентами во множестве комплексных чисел имеет ровно n корней, если каждый кратный корень считать такое число раз, какова его кратность». Доказательством этой теоремы занимались известные математики, в их числе Декарт, Даламбер, Лагранж, Лаплас, Гаусс.

Продолжая изучение уравнений высших степеней, норвежский математик Нильс Абель в 1826 году доказал, что для общего уравнения пятой степени не существует формулы, которая выражает его корни через коэффициенты. Это не означает, что для отдельных частных видов уравнений высших степеней также невозможно найти такие формулы. Поэтому в решении этого вопроса ещё возможны открытия.

В существующих школьных учебниках алгебры при рассмотрении вопроса о решении уравнений второй степени для простоты изложения материала указывается, что, если дискриминант уравнения отрицателен, то уравнение не имеет корней. Это утверждение противоречит основной теореме алгебры, на что необходимо обратить внимание учащихся. С учётом этой теоремы целесообразно уточнить, что в этом случае нет действительных корней, а уравнение имеет два комплексных корня, которые не изучаются в средней школе. Необходимость такого уточнения обязательна, поскольку учащимся, привыкшим к неточной формулировке, будет очень сложно перестроиться при изучении комплексных чисел в курсе высшей математики.

Запишем теорему Безу, которая позволяет найти корни многочлена.

Остаток r(x) от деления многочлена f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0 на двучлен (х - а) равен f(a).

Отсюда следует, что если число а является корнем многочлена, то остаток r(a) , будет равен нулю. Нам также понадобится теорема о корнях уравнения и следствия из неё.

Если несократимая дробь является корнем уравнения anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0 =0 с целыми коэффициентами, то число р является делителем свободного члена a0, а g – делителем старшего коэффициента аn.

Следствие 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие 2. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, - целые.

Для решения уравнений существует специальная схема Горнера. Мы рассмотрим применение этих теорем на практике с помощью деления «уголком».



Примеры. Решить уравнения:

  1. х3 + 15х – 16 = 0.

Возможные целые корни ищем среди делителей числа 16: 1, 2, 4, 8, 16. Подставляя поочерёдно эти числа в данное уравнение, получаем, что 1 – корень уравнения. Разделим «уголком» многочлен х3 + 15х – 16 на двучлен (х - 1). Получим многочлен х2 + х + 16.

Два других корня найдём из уравнения х2 + х + 16 = 0 . Поскольку D = 1 – 64 = - 63,

то корни будут комплексными х = .

Ответ: х=1; х =

2). 4 + 5х3 – 38х2 + 5х + 6 =0.

Как видно в этом уравнении коэффициенты симметричны, поэтому такие уравнения называют возвратными. Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами.



6(х4 + 1) + 5(х3 + х) - 38х2 =0.

Разделим обе части уравнения на х2.



6(х2 + ) + 5(х + ) – 38 = 0. Обозначим (х + ) =t, тогда х2 + 2 + = t2 или х2 + = t2 – 2. Значит, уравнение примет вид: 6(t2 - 2) +5t – 38 =0;

6t2 +5t – 50 =0; D =25 +1200=1225; t = -, t = .

Возвратимся к переменной х: х + = - или х + = . Умножим на все слагаемые в первом уравнении и на во втором уравнении, получим:



2 + 10х + 3 = 0 или 2 – 5х + 2 = 0 ;

D = 100 – 36 = 64 D = 25 – 16 = 9;

x = -3, x = - x = , x = 2/

Ответ: -3; -; ; 2.

3) х4 – 2х3 + х = 0.

Вынесем общий множитель х: х(х3 – 2х2 + 1) = 0



х = 0 или х3- 2х2 + 1 = 0.
Возможные корни второго уравнения 1 или -1. Подставляя эти числа в уравнение, получим, что 1-корень уравнения. Разделим многочлен х3- 2х2 + 1 на двучлен х – 1 получим трёхчлен х2 – х – 1. Корни уравнения х2 – х – 1= 0

Будут иррациональными х = .

Ответ: 0; 1;

Вопрос на дом. В честь какой женщины-математика назван один из распространённых в настоящее время цветов?

Ответ: Известная французская вычислительница Гортензия Лепот (1723-1788) из путешествия по Индии привезла в Европу необычайно красивый цветок, который назвали в её честь гортензией.
Занятие 7

Методы решения систем уравнений.

«…Правильному применению методов

можно научиться, только применяя их

на разнообразных примерах»

Датский историк математики Г.Г. Цейтен.

Историческая справка. Раздел математики, изучающий решение систем уравнений, носит название линейной алгебры. Задачи, решаемые с помощью систем уравнений, содержатся ещё в вавилонских текстах III-II тысячелетий до н.э.

Приёмы решения систем уравнений разрабатывали многие известные математики. Среди них францизские математики Этьен Безу, Жозев Луи Лагранж, Пьер Ферма, швейцарский – Габриель Крамер, немецкий – Готфрид Вильгельм Лейбниц, английский Исаак Ньютон и другие. Среди наиболее распространённых методов решения систем линейных уравнений следует назвать «метод Крамера», метод исключения переменных Гаусса, графический и другие, большая часть которых изучается в курсе высшей математике.

При решении уравнений мы постоянно пользуемся четырьмя знаками арифметических действий, но не задумываемся, когда они появились в научных трудах и были общеприняты. А между тем символы эти были введены не так давно по сравнению с существующими математическими рукописями. Знаки «+» и «-» появились в 1489 году в научных трудах чешского математика Яна Видмана, преподававшего в Лейпцигском университете. И он же первым опубликовал таблицу умножения. Существующие знаки умножения и деления введены намного позже Лейбницем: в 1684 году символ «:» и в 1698 году – символ « » . Редко применяемый в настоящее время знак умножения

« » опубликовал в 1631 году в своём научном труде английский математик Уильям Оутред. Знакомый всем нам знак равенства «=» был введён в обращение в 1557 году английским математиком и врачом Робертом Рекордом.

Каждый из этих символов прошёл свой часто сложный путь от создания до массового применения. Ведь до их появления ещё с древних времён четыре указанных действия уже применялись много веков и, очевидно, обозначались совсем иначе. Вам предлагается найти старинные обозначения арифметических действий.

Сегодня мы рассмотрим знакомый вам метод сложения, а также замену переменных в системах уравнений.



Несмотря на то, что указанные методы изучаются в общеобразовательном курсе математики, примеры, предлагаемые в существующих школьных учебниках, довольно просты и не в состоянии продемонстрировать всю многоплановость применения этих методов. При этом в младших классах её трудно показать, а в старших классах решение систем рациональных уравнений не предусмотрено.

Рассмотрим один из приёмов решения систем в древности.

1). В «Арифметике» Диофанта дана следующая задача: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов - 208»

Одно из возможных современных решений:



х + у = 20

х2 + у2 = 208.

Решая систему подстановкой, получим ответ: х = 8, у = 12 или х = 12, у = 8.

Решение Диофанта. Пусть z = (x - y), тогда (х + у) = 10, значит
(x - y)= z,

(х + у) = 10.

Складывая и вычитая эти уравнения, получим:



х = z + 10,

у = 10 – z.

Выразим через z сумму квадратов х и у: х2 + у2= (z + 10)2 + (10 - z)2 = z2 + 20z + 100 +100 – 20z + z2 = 2z2 + 200.

По условию эта сумма равна 208. Получим уравнение 2z2 + 200 = 208, корнем которого является число 2. Тогда х = 2 + 10 = 12, у = 10 – 2 = 8.

Следует учитывать, что во времена Диофанта ещё не были известны ни формула корней квадратного уравнения, ни отрицательные числа, поэтому учёному приходилось придумывать свои методы, в настоящее время практически не используемые.

2) Решить систему уравнений: х2 + у2 = 34,

х + у + ху = 23.

Выполним замену: u = x + y, v = xy, тогда х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = u2 – 2v.

Получим систему: u2 – 2v = 34

u + v = 23.

Решая её подстановкой, найдём решение: u = -10, v = 33 или u = 8, v = 15.



х + у = -10 или х + у = 8

ху = 33 ху = 15

Первая система не имеет действительных корней, а решение второй системы – две пары: (3; 5), (5; 3).

Ответ: (3; 5), (5; 3).

3). Решить систему уравнений: xy + xz = - 4



yz + yx = - 1

zx + zy = - 9

Сложив все три уравнения, получим 2xy + 2yz + 2xz = - 14. Тогда xy + yz + xz = -7. сравнивая последнее уравнение с заданной системой, получим:



yz = -7 + 4 yz = -3

xz = -7 + 1 или xz = -6

xy - -7 + 9 xy = 2

Теперь умножим все три последних уравнения, получим x2y2z2 = 36, отсюда xyz = 6

В результате имеем решения: х = -2, у = - 1, z = 3 или х = 2, у = 1, z = -3.

Ответ: (-2; -1; 3), (2; 1; -3) .



Вопрос на дом. Какой выдающийся математик XX века на самом деле не существует и никогда не существовал?

Ответ: Никола Бурбаки – псевдоним коллектива французских математиков, образованного в 1937 году из выпускников Высшей нормальной школы. В состав группы входят более 40 как всемирно известных учёных (Андре Вейль, Жан Дьедоне, Клод Шевалле), так и совсем неизвестных. С момента возникновения группа стала регулярно публиковать статьи в многотомном трактате «Элементы математики».


Занятие 8

Текстовые задачи с процентами.

«Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их»

Американский математик Д. Пойа.

Историческая справка. Гармония и красота математики увлекали древних людей. Вот почему почти все старинные задачи являются занимательными, будь то задачи из вавилонских клинописных таблиц, египетских папирусов или более поздних греческих источников.

Одни задачи имеют тысячелетний возраст, другие – вековой или десятилетний. Но замечательны они тем, что в процессе их решения появлялись и совершенствовались новые математические понятия, методы решения, символы.

Каждый народ наряду с распространёнными видами народного творчества (песни, сказки, поговорки, пословицы, загадки и т.п.) имеет и более редкий вид – занимательные математические задачи, которые передавались из поколения в поколение. Например, всем нам известная старинная русская задача VIII века о волке, козе и капусте, которых необходимо было переправить через реку. Не менее известна задача XVIII века о том, как гусь летел навстречу стае гусей и решил их сосчитать. Распространённая ситуация и в германской задаче: «За какое время лев, волк и собака могут съесть 3-х овец, если лев один может съесть овцу за 1 час, волк – за 3 часа, а собака – за 6 часов? ». А вот болгарская задача, аналог которой есть у многих народов: «По улице шли 2 матери, 3 дочки и 2 сестры - всего 4 женщины. Как это может быть?»

Одни задачи развивали логическое мышление, другие – пространственное. Ещё какие-то 100 лет назад задачники по математике для школьников содержали в большинстве своём только текстовые задачи, решаемые по действиям или логическим рассуждениями. Решение задач с помощью уравнений также появилось ещё в древности. В вот решение отдельно взятых уравнений, не связанных с определённой задачей, практиковалось только у учёных.



Текстовые задачи – это одна из тем, задания которой с трудом решаются многими абитуриентами, что подтверждается статистическими данными многих вузов. Причин такого положения несколько.

Во-первых, в школьных учебниках эти задачи встречаются в основном в младших классах, поэтому и уровень сложности у них соответствующий. Во-вторых, почти все предложенные задачи решаются с помощью уравнений, лишь задачи из начальной школы предлагаются по действиям. В результате ученики, не освоившие приёмы составления уравнения по данному тексту, до конца обучения в школе испытывают трудности психологического характера при решении текстовых задач. В-третьих, не существует спиральной системы изучения текстовых задач, когда уровень их постепенно усложняется. Тем более что в старших классах они не рассматриваются вообще, а на ЕГЭ уровень трудности задач многократно возрастает.

Текстовые задачи можно разделить по темам: проценты, производительность, смеси, движение, экономические, целочисленные, прогрессии и другие, более редко встречающиеся.

Рассмотрим некоторые приёмы решения задач с процентами.

1). Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили ещё на 15% и, наконец, после перерасчёта произвели снижение ещё на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?



Решение. Пусть х – первоначальная цена товара, тогда цена после первого снижения станет равной х – 0,2х = 0,8х. После второго снижения новая цена будет 0,8х – 0,150,8х = 0,8х – 0,12х = 0,68х. И, наконец, после третьего снижения цена станет равной 0,68х – 0,10,68х = 0,68х – 0,068х = 0,612х. Разность между первоначальной и конечной ценами будет равна: х – 0,612х = 0,388х. Это означает, что после трёх понижений цена уменьшится на 38,8%.

Ответ: 38,8%



  1. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько сухих грибов получится из 22 кг свежих?

Решение. Решим эту задачу по действиям. Если в свежих грибах 90% воды, то остальные 10% - это вещество гриба, которое при сушке не уменьшается

  1. 100 – 90 = 10 (%) – вещество гриба.

  2. 220,1 = 2,2 (кг) –вещества гриба в 22 кг свежих грибов.

  3. 2,2 + 0,122,2 = 2,2 + 0,264 = 2,464 (кг)- сухих грибов.

Ответ: 2,464 кг

3). Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?



Решение. В 30 кг морской воды соли будет 30 0,05 = 1,5 кг. После добавления х кг воды количество соли не изменится, т.е. останется 1,5 кг. Концентрация соли станет 1,5%, то (30 + х) 0,015 = 1,5, 30 + х = 100, х = 70. Нужно добавить 70 кг воды.

Ответ: 70 кг.



Вопрос на дом: Какой известный русский писатель окончил физико-математический факультет Московского университета?

Ответ: А.С. Грибоедов, поступив в Московский университет, прошёл за 6,5 лет курс 3 факультетов: словесного, юридического и физико-математического.
Занятие 9

Текстовые задачи с целыми числами.

«Обучению искусству решать

задачи есть цель воспитания воли»

Американский математик Д. Пойа.

Историческая справка. Многие учёные с увлечением занимались изучением различных видов и свойств чисел. В связи с расширением числовых множеств появилась необходимость в новых терминах. Например, термин «иррациональный» ввёл в обращение английский математик Томас Брадвардин (1290-1349). Для обозначения бесконечности множества чисел в 1655 году английским математиком Джоном Уоллисом Валдисом был предложен знак «». Для упрощения расчётов французский астроном и математик Иоганн Буркхардт составил в 1814-1817 годах таблицы делителей всех чисел до 3036000 вместе с простыми числами.

Числа всегда привлекали к себе внимание учёных своими магическими свойствами. Ещё в древности учёные придумали математические шутки с числами, названные софизмами. Софизмы играли очень важную роль, поскольку способствовали повышению строгости математических выкладок, в результате чего приёмы и методы понимались и запоминались намного лучше и качественнее. Разбор софизмов способствует развитию логического мышления, сознательному, а не бездумному освоению математики.

Примеры имели искусно завуалированные математические ошибки, поэтому нерадивые ученики не всегда могли их заметить и в результате получали курьёзные ответы.

Рассмотрим два примера, доказывающих, что 2  2 =5.



  1. 25 – 45 = 16 – 36, 25 – 45 + 20 + = 16 – 36 + 20 + ,

52 – 2 5 + = 42 – 2 4 + ,

= , 5 - = 4 -, 5 = 4, то 2 2 = 5.

2) 44= 55, вынесем общий множитель, получим 4(1  1) = 5(1  1). Разделим обе части на общий множитель, получим 4 = 5, т.е. 2  2 = 5.



Задачи с целыми числами не рассматриваются в школьном курсе математики, поэтому ученики испытывают трудность уже на первом этапе - при введении переменных. Для них проблематично представить, что каждое число можно разложить по разрядам, ведь эта процедура изучается лишь в начальной школе и очень редко упоминается в дальнейшем. По этой причине выбран именно этот вид текстовых задач.

1) Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если цифры этого числа переставить, то полученное число будет на 18 меньше искомого. Чему равно искомое число?



Решение. Пусть х  цифра десятков искомого числа, а у  цифра единиц, тогда это число можно записать в виде 10х + у. По первому условию задачи х + у = 8. Если переставить цифры числа, то получим новое число 10у + х. Так как последнее число по условию на 18 меньше искомого, то получим второе уравнение 10х + у – 18 = 10у + х. В итоге составим систему: х + у = 8

10х + у – 18 = 10у + х

х + у = 8

или х – у = 2. Сложим и вычтем полученные уравнения



2х = 10 х = 5

2у = 6 или у = 3. Значит искомое число равно 53.

Ответ: 53



  1. Трёхзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести в начало числа, то новое число будет больше утроенного первоначального числа на 1. Найдите исходное число.

Решение. Пусть цифра сотен искомого числа  х, а цифра десятков  у; так как цифра единиц равна 3, то это число имеет вид 100х + 10у + 3. После переноса цифры 3 в начало числа, получим число 300 + 10х + у. По условию последнее число больше утроенного искомого на единицу. Значит, 300 + 10х + у = 3(100х + 10у + 3) + 1,

300 + 10х + у = 300х + 30у + 10, 290х + 29у = 290, 10х + у = 10, тогда 100х + 10у = 100.

Поскольку искомое число имеет вид 100х + 10у + 3, значит, это число равно 100 + 3 = 103.

Ответ: 103

Особенность этой задачи состоит в том, что значения переменных отдельно не найдены, но в этом и нет необходимости. На это следует обратить внимание учащимся, т.к. такой приём при решении задач в школьных учебниках не рассматривается.


  1. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если же это двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке  число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.

Решение.

В начале решения этой задачи необходимо напомнить ученикам, что если при делении числа а на число b в частном получится с, а в остатке r, то данное число можно представить в виде суммы а = bc + r.

Пусть данное число равно 10х + у. Тогда по первому условию получим 10х + у= 7(х + у) + 6. По второму условию получается уравнение 10х + у = 3ху +(х + у). Объединим в систему: 10х + у= 7(х + у) + 6 или 3х – 6у = 6



10х + у = 3ху +(х + у) 9х = 3ху

После упрощения каждого из уравнений, получим систему: х – 2у = 2



х(3 - у) = 0.

Поскольку последнее уравнение распадается на два, то получим две системы:



х = 0 или у = 3

у = -1 х = 8

Так как х и у  цифры, то значения первой системы не подходят. Значит искомое число 83.

Ответ: 83

Вопрос на дом: В честь какого великого математика назван один их разделов алгебры? Дочь этого человека  всемирно известная писательница.

Ответ: Основоположник математической логики  ирландский математик Джордж Буль (1815-1864). В его честь раздел исследований назван «булевой алгеброй». Его дочь  Этель Лилиан Войнич (Буль)  автор всемирно известного романа «Овод». Также она перевела с русского на английский язык некоторые произведения Лермонтова, Гоголя, Шевченко, Достоевского.
Занятие 10

Простейшие уравнения с параметрами и модулями.

Историческая справка. Понятия «модуля» и «параметра» были при­няты в математике сравнительно не­давно. Знак модуля |а| был предло­жен в 1841 году немецким математи­ком Карлом Вейерштрассом. Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что в переводе означает «мера», «величина». Параметр спе­циального обозначения не имеет, как правило, это первые буквы алфавита. Уравнение с параметром это множество уравнений в зависи­мости от значений параметра. Но решать уравнение при каждом отдель­ном значении параметра - непо­сильная задача, поэтому рассматри­вают отдельно ключевые его значе­ния и все остальные.

Сегодня мы уделим больше внимания решению примеров.

Рассмотреть всевозможные ви­ды уравнений с параметрами и мо­дулями на одном занятии невоз­можно, поэтому мы разберём реше­ние лишь некоторых типичных примеров. При этом учтём, что в школьном курсе математики встречаются единичные случаи таких уравнений.

скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
Элективный курс в 9 классе «Красота методов решения математических задач»
649.93kb.
«Касательная к графику функции»
53.04kb.
Исправленные методы А. Ю. Виноградова решения краевых задач, в том числе жестких краевых задач
1171.94kb.
Программа элективного курса по физике 10 кл
73.95kb.
Способы решения исторических задач и правильное их оформление]
63.11kb.
Методическая разработка Нетрадиционные методы решения задач
54.1kb.
Премудрость, художница всего
227.27kb.
Программа представляет дизайн как художественное проектирование и конструирование; деятельность, направленную на формирование фунциональных и эстетических качеств предметной среды
88.75kb.
Решение задач со строковыми переменными При решении таких задач бывает необходимо: найти определенные символы (цепочки символов) поиск, подсчет
60.8kb.
Директор мобу сош №2 Р. Т
294.96kb.
Показать учащимся значение химических открытий в науке, технике, различных сферах жизни
45.67kb.
«Космос» для решения поставленных коммуникативных задач
107.6kb.